Die Menge der positiven ganzen Zahlen wird als N bezeichnet

Die Menge der ganzen Zahlen wird mit Z bezeichnet

Die Menge der rationalen Zahlen wird mit Q bezeichnet

Die Menge der reellen Zahlen wird mit R bezeichnet

Die Menge aller komplexen Zahlen wird mit C bezeichnet

Kartierung

zusammengesetzte Zuordnung

inverse Abbildung

Zusammenfassung

1,x>o

0,x=0

-1,x<0

1,x∈Q

0,x∈R-Q

Angenommen, der Definitionsbereich der Funktion y=f(x) ist D. Wenn es eine positive Zahl M gibt, sodass für jeden Punkt x in einem bestimmten Teilintervall von D immer |f(x)|＜M ( Das heißt, -M＜f( x)<M), dann heißt die Funktion f(x) eine begrenzte Funktion auf D, andernfalls ist sie eine unbeschränkte Funktion.

Ob eine Funktion beschränkt oder unbeschränkt ist, muss das betrachtete Intervall angeben, da dieselbe Funktion in einem Intervall begrenzt, in einem anderen Intervall jedoch unbegrenzt sein kann.

Nur wenn es sowohl eine Obergrenze als auch eine Untergrenze gibt, kann es als begrenzt bezeichnet werden (die Welt ist nicht eindeutig).

Wenn f(-x)=f(x) erfüllt ist, handelt es sich um eine gerade Funktion

Wenn f(-x)=-f(x) erfüllt ist, handelt es sich um eine ungerade Funktion

Die Beurteilung der Parität nach den vier arithmetischen Operationen der Paritätsfunktion kann auf den vier arithmetischen Operationen negativer Zahlen basieren.

Die Dirichlet-Funktion hat keine minimale positive Periode

Das Wesen einer zusammengesetzten Funktion besteht darin, eine Funktion in mehrere einfachere Funktionen zu zerlegen

Achten Sie auf den Bereich der zerlegten einfachen Funktion und der ursprünglichen zusammengesetzten Funktion

Angenommen, A und B sind Mengen reeller Zahlen. Die Umkehrfunktion f -1→ der Abbildung f : A → B heißt Umkehrfunktion von y = f (x), das heißt: wenn es für jedes y∈B ein gibt eindeutiges x∈A, sei y = f (x), dann ist x auch eine Funktion von y und wird als f -1 bezeichnet, d. h. x = f -1( y )

x = f -1( y ) ist die Umkehrfunktion der Funktion y = f ( x ); y = f ( x ) ist die direkte Funktion der Umkehrfunktion x = f-1 ( y );

Die Umkehrfunktion steht im Einklang mit der Monotonie der direkten Funktion (streng monoton steigend und fallend).

Nicht alle Funktionen haben Umkehrfunktionen

Für die injektive und Eins-zu-eins-Abbildung muss es eine Umkehrfunktion geben

Verwenden Sie bei der Lösung von Problemen im Allgemeinen Substitution

Vier Schritte zum Finden von Grenzwerten per Definitionsmethode

Es gibt eine Grenze – Konvergenz

Keine Grenze – Divergenz

Wenn die Folge konvergiert, ist ihr Grenzwert eindeutig

Konvergenz muss beschränkt sein (alle beschränkt)

Begrenzt bedeutet nicht unbedingt Konvergenz

Wenn lim(n→unendlich)=a, a>0 (oder a<0), dann existiert N>0, wenn n>N, Xn>0 (oder Xn<0).

Es kann allgemein verstanden werden, dass, wenn der Grenzwert größer als 0 ist, alle Xn nach N größer als 0 sind.

Wenn die Folge konvergiert, müssen auch ihre Teilfolgen konvergieren.

Wenn sowohl ungerade als auch gerade Teilfolgen konvergieren, dann konvergiert die Folge

Eine divergente Folge kann auch konvergente Teilfolgen haben

Ergänzende Wissenspunkte

Wenn ein Grenzwert vorhanden ist, muss dieser eindeutig sein

Wenn der Grenzwert existiert, dann ist die Funktion in einer bestimmten dezentrierten Umgebung von X0 beschränkt

Wenn der Grenzwert existiert und A>0 (oder A<0), dann gibt es eine bestimmte dezentrierte Umgebung von X0, und f(x)>0 (oder A<0) existiert in dieser dezentrierten Umgebung.

Auch bekannt als Reduktionssatz und Satz von Heine. Es ist allgemein bekannt, dass das Finden des Grenzwerts einer Funktion in das Finden des Grenzwerts einer Folge umgewandelt werden kann und umgekehrt (hier ist die Exponentialfolge in der Funktion enthalten).

Achten Sie beim Schreiben von Infinitesimalgrößen auf den sich ändernden Trend ihrer unabhängigen Variablen.

Unendlich klein ist eine Variable mit 0 als Grenzwert. Sie ist eine Funktion, keine Zahl.

0 ist die einzige Konstante, die als unendlich kleine Größe verwendet werden kann

Die Definition der Infinitesimalzahlen gilt auch für die Zahlenfolge

Die notwendige und hinreichende Bedingung dafür, dass die Funktion f(x) A als Grenzwert annimmt, ist: f(x) kann als Summe von A und einem infinitesimalen α ausgedrückt werden

Verwenden Sie vier arithmetische Operationen

direkte Substitutionsmethode

rationalisieren Sie den Zähler oder Nenner

Finden Sie die höchsten Zeiten

Verwenden Sie zwei wichtige Grenzwertformeln

Äquivalent zu Infinitesimal

Annäherung

Gemeinsame Punkte

Wenn limα(x)/β(x)=0, dann heißt α(x) das Infinitesimal höherer Ordnung von β(x), aufgezeichnet als α(x)=o(β(x))

Wenn limα(x)/β(x)=unendlich, dann wird α(x) das Infinitesimal niedrigerer Ordnung von β(x) genannt und als β(x)=o(α(x)) aufgezeichnet.

Wenn limα(x)/β(x)=A, dann wird α(x) als infinitesimal in der gleichen Größenordnung wie β(x) bezeichnet, aufgezeichnet als β(x)=O(α(x)) [es ist äquivalent, wenn es 1 infinitesimal ist

Wenn in einem bestimmten Grenzprozess α(x) die Infinitesimalmenge gleicher Ordnung der βk-ten Potenz (x) (k>0) ist, dann heißt α(x) die Infinitesimalmenge k-ter Ordnung von β( X).

Der Grenzwert ist an dieser Stelle gleich seinem Funktionswert

Die linke Grenze und die rechte Grenze sind an diesem Punkt gleich

Unstetigkeitspunkte können entfernt werden (der Grenzwert ist nicht gleich dem Funktionswert)

Sprungunstetigkeitspunkt (die linken und rechten Grenzen sind nicht gleich)

Gleicher Punkt

keine linken oder rechten Grenzen

Nehmen Sie an, dass die Funktionen f(x) und g(x) beide bei x0 stetig sind

Die direkte Funktion ist stetig und die Umkehrfunktion ist ebenfalls stetig.

Die grundlegende Elementarfunktion ist stetig, und die durch ihre Zusammensetzung gebildete zusammengesetzte Funktion ist ebenfalls stetig.

Die grundlegenden Elementarfunktionen ihrer Komponenten sind alle stetig. Wenn Sie also den Grenzwert einer Elementarfunktion an einem Punkt innerhalb ihres Definitionsintervalls ermitteln, benötigen Sie nur den entsprechenden Funktionswert.

Wenn eine Funktion in einem geschlossenen Intervall stetig ist, erhält sie die Maximal- und Minimalwerte im geschlossenen Intervall

Eine stetige Funktion auf einem geschlossenen Intervall muss eine beschränkte Funktion auf dem Intervall sein

Ist es im geschlossenen Intervall [a,b] stetig und haben f(a) und f(b) unterschiedliche Vorzeichen, dann gibt es mindestens einen Punkt ξ(a<ξ<b) im offenen Intervall (a,b). ), so dass f( ξ)=0

Angenommen, die Funktion f(x) ist im geschlossenen Intervall [a,b] stetig, dann kann sie auf [a,b] jeden Wert zwischen ihrem Maximalwert M und ihrem Minimalwert m annehmen