Das Konzept des Extremwerts und des Maximalwerts
★Die Voraussetzung für die Existenz eines Extremwerts muss sein, dass beide Seiten definiert sind.
Der Extrempunkt ist nicht unbedingt der Maximalpunkt, und der Maximalpunkt ist nicht unbedingt der Extrempunkt.
y=e hoch x hat einen Maximalpunkt in [0, ∞], aber keinen Extrempunkt
y=3x-x zur dritten Potenz
Es gibt Extrempunkte, aber keine Maximalpunkte
Der maximale Punkt innerhalb des Intervalls muss der Extrempunkt sein
Die Punkte innerhalb des Intervalls sind keine Extrempunkte und dürfen daher auch nicht die Maximalpunkte sein.
Unstetigkeitspunkte können auch Extrempunkte sein
Alle vier Arten von Unstetigkeitspunkten können zum Erreichen von Extrempunkten verwendet werden, sofern die linke und rechte Seite definiert sind.
Unterscheidung zwischen Monotonie und Extremwerten
Beurteilung der Monotonie
Extremer Punkt
Es muss nicht am Extrempunkt differenzierbar sein, solange es in der Umgebung dieses Punktes differenzierbar ist
Notwendige Bedingungen (Fermat)
f(x) ist bei x=x0 differenzierbar und nimmt am Punkt x0 einen Extremwert an
erste hinreichende Bedingung
Überprüfen Sie zunächst die Kontinuität, bevor wir sie finden können. Die Voraussetzung ist, dass sie an diesem Punkt stetig ist und f′(x0) das Vorzeichen in der dezentrierten Umgebung von x0 ändert.
zweite hinreichende Bedingung
f(x) ist zweiter Ordnung differenzierbar bei x=x0 und f′(x0)=0, f′′(x0)≠0
f''(x0)>0, f(x0) ist ein Minimalwert, der durch die Grenzwertdefinition und die lokale Vorzeichenerhaltungseigenschaft bewiesen werden kann.
Im Gegenteil, der Maximalwert
dritte hinreichende Bedingung
Die Ableitung m-ter Ordnung von f(x0)=0, die Ableitung n-ter Ordnung von f(x0)≠0
Wenn n eine gerade Zahl ist, ist die Ableitung n-ter Ordnung >0 und nimmt bei x=x0 den Minimalwert an.
Wenn n eine gerade Zahl ist, ist die Ableitung n-ter Ordnung <0 und nimmt den Maximalwert bei x=x0 an
Sie können die Definition auch zur Identifizierung verwenden
Das Konzept der Konkavität und des Wendepunkts
Der Funktionswert an der Linie, die zwei Punkte verbindet < der Funktionswert am Mittelpunkt der beiden Punkte auf der Kurve
Funktionswert an der Linie, die zwei Punkte verbindet > Funktionswert am Mittelpunkt der beiden Punkte auf der Kurve
Definition des Wendepunkts
Der Wendepunkt muss lediglich kontinuierlich sein
Es hat nichts damit zu tun, ob es ableitbar ist oder nicht.
Konkav und konvex in keiner bestimmten Reihenfolge
Der Wendepunkt liegt auf der Kurve
Schreiben Sie (x0,f(x0))
Extrempunkte beziehen sich auf Punkte im Definitionsbereich
Extremwerte sind Funktionswerte
Unterscheiden Sie zwischen konkaven und konvexen Typen
Zweite Ableitung > 0, konkav
Zweite Ableitung <0, konvex
Beurteilung des Wendepunkts
notwendige Voraussetzungen
f''(x0) existiert und Punkt (x0, f(x0)) ist der Wendepunkt auf der Kurve
erste hinreichende Bedingung
Die Prämisse ist, dass die zweite Ableitung das Vorzeichen ändert, wenn sie in der dezentrierten Umgebung stetig ist.
zweite hinreichende Bedingung
f''(x0)＝0, f'''(x0)≠0, dann ist (x0,f(x0)) der Wendepunkt
dritte hinreichende Bedingung
Die m-te Ableitung von f(x0)=0
Wenn n eine ungerade Zahl ist, ist die n-te Ableitung ≠0
(x0,f(x0)) ist der Wendepunkt
Sie können die Definition auch zur Identifizierung verwenden
Prüfungsfragen
5.5 Beweis der Monotonie
Die Beziehung zwischen f' und f
Denken Sie an den Mittelwertsatz von Lagrange
Die zweite Ableitung > 0 in der Nähe eines Punktes
Eine Kurve in der Nähe eines Punktes ist eine konkave Kurve
Identifizieren Sie Extremwerte gemäß der Definition von Extremwerten
Asymptote
Lotasymptote
Definieren Sie die Endpunkte des Intervalls
Stückweise Funktion Stückweise Punkt
limx tendiert zu x0 =∞ (oder limx tendiert zu x0-=∞), dann ist x=x0 eine vertikale Asymptote
horizontale Asymptote
limx tendiert zu ∞=y1, dann ist y=y1 eine horizontale Asymptote
limx tendiert zu -∞=y2, dann ist y=y2 eine horizontale Asymptote
Wenn = die gleiche Asymptote, ist y = y0 eine horizontale Asymptote
schräge Asymptote
limx tendiert zu ∞, limf(x)/x=a1 (a kann nicht=0.) lim[f(x)-a1x]=b1
Für y=a1x ist b1 eine schräge Asymptote
Prüfungsfragen
Schritt
1. Finden Sie undefinierte Punkte und Endpunkte
2. Nähert sich diesem Punkt eine Lotasymptote?
3. Tendenziell bis ins Unendliche, egal ob es ein Niveau gibt
4. Gibt es im Vergleich zu x einen schrägen Gradienten?
5.8 und Übung 2.6
Die gleiche Methode, Grenzen zu finden★★
x geht gegen Unendlich, 1/x=0
lne hoch x × (e hoch -x 1) = x ln (e hoch -x 1)
1-(1-1/n) hoch k-ten Potenz~k/n
Maximaler Wert oder Wertebereich
Finden Sie die Maximal- und Minimalwerte (Bereich) der stetigen Funktion f(x) im geschlossenen Intervall [a,b]
Der Punkt, an dem die erste Ableitung Null ist
Punkte, bei denen die erste Ableitung nicht existiert, sind nicht ableitbare Punkte
Große Lücke
Wenn Sie die Ableitung des stückweisen Punktes einer stückweisen Funktion finden, müssen Sie die Ableitungsdefinition verwenden, um die Ableitung zu finden.
Finden Sie den Maximalwert oder Wertebereich der stetigen Funktion f(x) im offenen Intervall (a,b)
Die rechte Grenze des linken Endpunkts, die linke Grenze des rechten Endpunkts
Das Gleiche gilt für ±unendlich
Wenn Sie beim Ermitteln der Maximal- und Minimalwerte auf praktische Probleme stoßen, erstellen Sie zunächst die Zielfunktion und wandeln Sie diese dann in ein Optimalwertproblem um, nachdem Sie das Definitionsintervall bestimmt haben.
Insbesondere dann, wenn das tatsächlich betrachtete Problem einen maximalen oder minimalen Wert hat. Die Zielfunktion hat einen eindeutigen Extrempunkt, daher muss es der Maximalpunkt sein. Finden Sie den n-ten Term unter der n-ten Wurzel.
Der Extrempunkt innerhalb des Intervalls muss der Maximalpunkt sein
Erstellen Sie Funktionsgraphen
① Bestimmen Sie den Definitionsbereich der Funktion und prüfen Sie, ob sie Parität oder Gleichmäßigkeit aufweist
② Finden Sie die Ableitung erster Ordnung und die Ableitung zweiter Ordnung
Der undefinierte Punkt von f(x)
Punkte, an denen f'(x) nicht existiert
③Erstellen Sie ein Formular
④Bestimmen Sie die Asymptote
⑤ Erstellen Sie Funktionsgraphen
Definition von Ableitungen und Erhaltung lokaler Vorzeichen mithilfe von Grenzwerten
5.1
Es lohnt sich, es mehrmals zu tun
Mit Prüfungsfragen können Sie das Rechnen üben
5.3
Extremwert der impliziten Funktion
Die erste Ableitung sei gleich 0
Finden Sie die Beziehung zwischen y und x
Finden Sie an dieser Stelle die zweite Ableitung
Auch Punkte, an denen die erste Ableitung nicht existiert, können Extremwerte sein
5.8
Das arithmetische Mittel ist größer als das geometrische Mittel
5.9
Common-Factor-Methode
Für die schwer zu berechnende erste Ableitung gilt = 0
5.10
Prüfung der Rechenfähigkeit
Nehmen Sie logarithmische Änderungen vor, addieren und subtrahieren Sie
Glauben Sie an Ihre eigenen Computerkenntnisse
Extremer Punkt
Die erste Ableitung existiert nicht
Wendepunkt
Die zweite Ableitung existiert nicht
Geben Sie am Ende des Wendepunkts nicht den falschen Ausdruck ein
Konkave und konvexe Intervalle werden durch Kommas getrennt
Der einzige Mindestwert ist der Mindestwert
Achten Sie auf die Annäherung
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