Mindmap-Galerie Differentialrechnung von Funktionen einer Variablen
Differentialrechnung von Funktionen einer Variablen, Anwendungsfragen zu Ableitungen umfassen: Fragetyp: Monotonie, Extremwert und Maximalwert der Funktion Fragetyp 2: Die Konkavität, der Wendepunkt, die Asymptote und die Krümmung einer Kurve Frage: Existenz und Anzahl der Wurzeln von drei Gleichungen Fragetyp 4: Funktionsungleichungen beweisen Fragetyp Fünf verwandte Beweisfragen des Differentiations-Mittelwertsatzes
Bearbeitet um 2023-07-24 17:04:58Einhundert Jahre Einsamkeit ist das Meisterwerk von Gabriel Garcia Marquez. Die Lektüre dieses Buches beginnt mit der Klärung der Beziehungen zwischen den Figuren. Im Mittelpunkt steht die Familie Buendía, deren Wohlstand und Niedergang, interne Beziehungen und politische Kämpfe, Selbstvermischung und Wiedergeburt im Laufe von hundert Jahren erzählt werden.
Einhundert Jahre Einsamkeit ist das Meisterwerk von Gabriel Garcia Marquez. Die Lektüre dieses Buches beginnt mit der Klärung der Beziehungen zwischen den Figuren. Im Mittelpunkt steht die Familie Buendía, deren Wohlstand und Niedergang, interne Beziehungen und politische Kämpfe, Selbstvermischung und Wiedergeburt im Laufe von hundert Jahren erzählt werden.
Projektmanagement ist der Prozess der Anwendung von Fachwissen, Fähigkeiten, Werkzeugen und Methoden auf die Projektaktivitäten, so dass das Projekt die festgelegten Anforderungen und Erwartungen im Rahmen der begrenzten Ressourcen erreichen oder übertreffen kann. Dieses Diagramm bietet einen umfassenden Überblick über die 8 Komponenten des Projektmanagementprozesses und kann als generische Vorlage verwendet werden.
Einhundert Jahre Einsamkeit ist das Meisterwerk von Gabriel Garcia Marquez. Die Lektüre dieses Buches beginnt mit der Klärung der Beziehungen zwischen den Figuren. Im Mittelpunkt steht die Familie Buendía, deren Wohlstand und Niedergang, interne Beziehungen und politische Kämpfe, Selbstvermischung und Wiedergeburt im Laufe von hundert Jahren erzählt werden.
Einhundert Jahre Einsamkeit ist das Meisterwerk von Gabriel Garcia Marquez. Die Lektüre dieses Buches beginnt mit der Klärung der Beziehungen zwischen den Figuren. Im Mittelpunkt steht die Familie Buendía, deren Wohlstand und Niedergang, interne Beziehungen und politische Kämpfe, Selbstvermischung und Wiedergeburt im Laufe von hundert Jahren erzählt werden.
Projektmanagement ist der Prozess der Anwendung von Fachwissen, Fähigkeiten, Werkzeugen und Methoden auf die Projektaktivitäten, so dass das Projekt die festgelegten Anforderungen und Erwartungen im Rahmen der begrenzten Ressourcen erreichen oder übertreffen kann. Dieses Diagramm bietet einen umfassenden Überblick über die 8 Komponenten des Projektmanagementprozesses und kann als generische Vorlage verwendet werden.
Differentialrechnung von Funktionen einer Variablen
Ableitungen und Differentiale
Fragetyp 1 Konzepte von Ableitungen und Differentialen
1. Definieren Sie den Grenzwert
2. Definieren Sie Derivate
Wenn ich nicht weiß, ob es differenzierbar ist, verwende ich einfach die Definition.
3. Definition ist ableitbar
Bestimmen Sie zunächst die Ableitung und dann die Stetigkeit der Ableitung.
Achten Sie in Lópida darauf, ob die n-te Ordnung der Frage differenzierbar ist (Ableitung nach n-1, also die Ordnung, bei der die Ableitung stetig ist). Höhere Ordnungen müssen durch Ableitungen definiert werden.
einige Schlussfolgerungen
Es ist nicht notwendig oder ausreichend, dass fx differenzierbar ist und |fx| differenzierbar ist
Über |f(x)| (kombinierte Bilder)
Wenn f(x0)≠0, dann ist |fx| bei x0 differenzierbar. „== fx ist bei x0 differenzierbar
Wenn f(x0)=0, kann |fx| bei x0 als „==“ f'(x0)=0 abgeleitet werden
Wenn f(x)=g(x)|x-a|, g(x) bei a stetig ist, dann ist die notwendige und ausreichende Bedingung dafür, dass fx bei a differenzierbar ist, g(a)=0.
Prinzip (allgemeine Verwendung): In dieser Ableitungsdefinition von fx tendiert x gemäß der Ableitungsdefinition von beiden Seiten zu a, aber es gibt einen absoluten Wert, wodurch das Endergebnis unterschiedlich ist (ein positives g(a) und ein negatives g). (a)) Wenn Sie zwei Grenzwerte, die entgegengesetzte Zahlen sind, gleich machen möchten, nehmen Sie beide als 0 an. Das heißt, sei g(a)=0. Verallgemeinern Sie es auf die Funktion f(x)=g(x)|p(x)| und Sie können es erhalten, wenn sich die reale Wurzel der Absolutwertfunktion p(x)=0 in g(x)=0 widerspiegelt , dann ist dieser Punkt ableitbar, andernfalls nicht. Im Absolutwert sind die Punkte mit px = 0 nicht differenzierbar, aber da sie zu diesem Zeitpunkt mit gx = 0 multipliziert werden, sind die Definitionsgrenzen der linken und rechten Ableitung gleich und werden differenzierbar.
Häufig verwendet: k|x| ist bei 0 nicht differenzierbar, x|x| ist bei 0 differenzierbar
Mit dieser Methode kann der nicht differenzierbare Punkt dieser Art von Funktion bestimmt werden
Fragetyp 2 Geometrische Bedeutung von Ableitungen
Tangenten, Normalen, parametrische Gleichungen
Fragetyp 3: Berechnung von Ableitungen und Differentialen
1 Ableitung zusammengesetzter Funktionen
Sie existieren nur, wenn sie alle existieren. Ob sie existieren oder nicht, bedeutet nicht unbedingt, dass das Ganze nicht existiert.
2 Implizite Funktionsableitungsmethode
Verwenden Sie zur Vereinfachung die ursprüngliche Gleichung
Versuchen Sie, die Faktoren zu differenzieren, die nach dem Einsetzen in x als Ganzes Null sind
3 Ableitungen parametrischer Gleichungen
Polarkoordinaten → parametrische Gleichungen
4 Ableitungen von Umkehrfunktionen
Kehrwert der Ableitung
5 Logarithmische Ableitung
Für kontinuierliche Multiplikation und kontinuierliche Division ist die Quadratwurzel
Derivative Anwendungen
Fragetyp 1: Monotonie, Extremwert und Maximalwert von Funktionen
Extrempunkte: einer notwendig und drei ausreichend
Wenn in einer stetigen Funktion beim direkten Ersetzen von x keine Definition vorhanden ist, können Sie versuchen, beide Seiten zu verwenden, um den Grenzwert zu ermitteln.
Wenn der Grenzwert größer oder kleiner als Null ist, möchten wir die lokale Zahl beibehalten.
Fragetyp 2 Konkavität und Konvexität, Wendepunkte, Asymptoten und Kurvenkrümmung
Der Wendepunkt ist eins notwendig und drei ausreichend
Es muss kein Punkt sein, an dem die zweite Ableitung gleich Null ist, um laut Definition ein Wendepunkt zu sein, solange sich die Konkavität und Konvexität um den Wendepunkt herum ändern, auch wenn dieser nicht differenzierbar ist
In der Asymptote gibt es im gleichen Trend keine Steigung, wenn es ein Niveau gibt.
Konstruktorfunktion (Hilfsfunktion)
####
Fragetyp 3: Existenz und Anzahl der Wurzeln von Gleichungen
1 Existenz
Nullpunktsatz
Satz von Rolle
2 Zahlen
Monotonie
Das Ermitteln der Anzahl der Wurzeln kann auch zum Nachweis der Existenz von verwendet werden
Die Parameter werden bei der Ableitung getrennt und nach der Ableitung eliminiert, um die Diskussion zu erleichtern.
Folgerung von Rolles Theorem Rolles ursprüngliche Worte
$Wenn f^{(n)}≠0 auf dem Intervall I, dann hat f(x)=0 höchstens n reelle Wurzeln$
Es wird häufig zur Unterstützung von Beweisen verwendet. Wenn es mindestens n von Hand berechnete Wurzeln und höchstens von Rolle berechnete Wurzeln gibt, dann gibt es n Wurzeln.
Rohr kann auch zur Bestimmung des stationären Punktes verwendet werden.
Fragetyp 4: Funktionsungleichungen beweisen
Monotonie, Maximalwert, Gitter, Taylor, Konkavität und Konvexität, grundlegende Ungleichungen
Fragetyp 5: Beweisfragen zum Differentialmittelwertsatz
####
Konstrukteur
1. Analyse und Wiederherstellung
2. Differentialgleichungen
3. Häufig verwendete Grundformeln (im Wesentlichen auch analytische Reduktionsmethode)
4 Konstruieren Sie die Funktion basierend auf der in der Frage gegebenen Inspiration
Zum Beispiel die Summe der zweiten Ableitung und Funktionen
Wenn das Intervall kontinuierlich ist und die beiden Endpunktwerte bekannt sind und in der Mitte ein Wert vorhanden ist, der größer oder kleiner als die beiden Endpunktwerte ist, gibt es einen Maximalwert, und dieser Maximalwert ist der Maximalwert.
Wenn Sie den Konstruktor gefolgt von Roll verwenden,
Wenn ein Punkt a ist, sollte ein anderer Punkt auch a sein,
Achten Sie darauf, wie Sie einen anderen Punktwert erhalten = a. (a ist immer 0)
Bestimmte Integrale können auch zur Auswertung verwendet werden, insbesondere wenn ein linearer Term mit einer bestimmten Integralkonstante multipliziert wird, 0 direkt erhalten werden kann und dann gemäß dem integralen Mittelwertsatz geschlossen werden kann, dass es Punkte im Intervall gibt diese Bedingung erfüllen.
Es ist nicht erforderlich, dass zwei Punkte ungleich sind
Der Zwei-Mittelwert-Satz (Ziehe die Mitte)
Cauchy und Lazhong
Erfordert, dass zwei Punkte ungleich sind
Segmentierungspunkt bestimmen
Die Bestimmung des Segmentierungspunkts ist der Hauptschwierigkeitspunkt bei dieser Art von Frage. Im Allgemeinen liefert die erste Frage den Beweis des Segmentierungspunkts. Wenn dieser nicht angegeben ist, wird in der zweiten Frage der Mittelwertsatz verwendet Das erhaltene Ergebnis wird verwendet, um den Segmentierungspunkt umzukehren.
Beim Ableiten von Segmentierungspunkten können Sie die Variablenersetzungsmethode verwenden, um den Vorgang zu vereinfachen, und Sie können auch die Position spezieller Punkte anhand der Problemeinstellungen erraten.
Mittelwertsatz
Wenn doppelte Mediane verwendet werden, werden im Allgemeinen doppelte Pull-Center verwendet. Zu diesem Zeitpunkt wird ein Segmentierungspunkt ausgewählt und der Segmentierungspunkt wird als Vermittler verwendet, um die Mediane auf beiden Seiten zu verbinden.
Taylor
Analysieren Sie die Bedingungen in der Frage und führen Sie eine Taylor-Expansion für x-Werte mit bekannteren Formen durch. Wenn mehrere x die gleiche Anzahl bekannter Parameter haben, finden Sie das x, dessen Ableitungswert bekannt ist. Wenn bekannt ist, dass f(1)=0 und f'(2)=1 ist, dann erweitere zuerst 2.
Häufig verwendete Theoreme
Rollen
Fermat
Im Allgemeinen wird Rolle Vorrang eingeräumt, gefolgt von Fermat. Wenn zwei Punkte mit der gleichen Ableitung = 0 nicht gefunden werden können, wird von Fermat häufig angenommen, dass der Maximalwert in einem kontinuierlichen Intervall sein muss zur Bedeutung der Frage: Um den Extrempunkt zu finden, ist die Ableitung des Extrempunkts 0, und dieser Punkt ist der Punkt, nach dem Sie suchen.
Taylor
Einziehen
Auch beim Einfahren kommt es auf die Steigung an
Bei jeder Frage, die Ableitungen und funktionale Beziehungen erfordert, kann Lagrange berücksichtigt werden, insbesondere wenn die Werte einiger Punkte angegeben sind.
Wenn beispielsweise der Bereich von fx in der Frage angegeben ist, können Sie den Bereich verwenden, um den Bereich von f'(x) zu berechnen.