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EdrawMindConocimientos básicos de matemáticas de secundaria (funciones cuadráticas, ecuaciones y desigualdades)
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Conocimientos básicos de matemáticas de secundaria (funciones cuadráticas, ecuaciones y desigualdades)
Este es un mapa mental sobre los conocimientos básicos de matemáticas de secundaria (funciones cuadráticas, ecuaciones y desigualdades), incluidas las propiedades de igualdad y desigualdad. Desigualdades básicas (desigualdad media), etc.
Editado a las 2024-03-13 23:01:30,Conocimientos básicos de matemáticas de secundaria (funciones cuadráticas, ecuaciones y desigualdades)
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- Resumen
Funciones cuadráticas, ecuaciones y desigualdades de una variable.
Funciones cuadráticas, ecuaciones cuadráticas y desigualdades.
Función cuadrática
gráfica de función cuadrática
La relación entre la gráfica de la función y=x² y la función y=ax² (a≠0)
La imagen de y=ax² (a≠0) se obtiene manteniendo sin cambios la coordenada de abscisas de cada punto de la imagen de y=x² y la ordenada convirtiéndose en a multiplicado por el valor original.
a determina la dirección y el tamaño de la abertura de la imagen. Cuanto más grande es a, más pequeña es la abertura de la imagen.
La relación entre la gráfica de la función y=ax² (a≠0) y la función y=a(x h)² k (a≠0)
y=ax² pasa por {h>0, traduce h unidad de longitud a la izquierda; h<0 traduce h unidad de longitud a la derecha} para obtener y=a(x h)²;
y=a(x h)² pasa por {k>0, traslada hacia arriba k longitudes unitarias k<0, traslada hacia abajo k longitudes unitarias} para obtener y=a(x h)² k;
Después de formular la función y=ax² bx c (a≠0) en la forma y=a(x h)² k, se obtiene desplazando la imagen de y=ax² (a≠0) hacia izquierda y derecha.
Propiedades de las funciones cuadráticas
Tres propiedades de funciones cuadráticas
Si se conocen las coordenadas del vértice de la función cuadrática (-h, k), la función cuadrática se puede expresar como y=a(x h)² k (a≠0)
Si se sabe que las dos raíces de la ecuación ax² bx c=0 (a≠0) son x1 y x2 (la intersección de la parábola y el eje X de la abscisa), entonces la función cuadrática se puede expresar como y= a(x-x1)(x -x2)（a≠0）
Propiedades de la función y=ax² bx c (a≠0)
Función a>0
dirección de apertura
arriba
Coordenadas de vértice
(-b/(2a),(4ac-b²)/(4a))
Eje de simetría
x=-b/(2a)
Problemas de valores máximos y mínimos.
Cuando x=-b/(2a), la función tiene un valor mínimo (4ac-b²)/(4a);
Función a<0
dirección de apertura
abajo
Coordenadas de vértice
(-b/(2a),(4ac-b²)/(4a))
Eje de simetría
x=-b/(2a)
Problemas de valores máximos y mínimos.
Cuando x=-b/(2a), la función tiene un valor máximo (4ac-b²)/(4a);
El concepto de ecuación cuadrática de una variable.
concepto
Una ecuación donde ambos lados del signo igual son números enteros, contienen solo una incógnita (unaria) y el grado más alto de la incógnita es cuadrática.
Forma general: y=ax² bx c (a≠0)
Solución de ecuación cuadrática
También llamadas raíces de una ecuación cuadrática de una variable.
1. Cuando a≠0, se puede decir que la ecuación es una ecuación cuadrática. 2. Si el texto establece claramente que y=ax² bx c es una ecuación cuadrática, implica la condición de a≠0 3. c es un término constante (o puede considerarse como un coeficiente de un término de orden cero)
Solución a la ecuación cuadrática de una variable.
Resolver ecuaciones cuadráticas de una variable usando raíz cuadrada directa.
Generalmente, el método de utilizar la definición de raíz cuadrada para tomar directamente la raíz cuadrada y encontrar la solución de una ecuación cuadrática se llama método de raíz cuadrada directa.
Para una ecuación cuadrática de la forma (ax b)²=c (c≥0), la solución es x=(±Ö(c) -b)/a
Nota: cuando se utiliza el método de raíz cuadrada directa, c ≥ 0, y cuando se toma la raíz cuadrada, preste atención a ±√c
Resolver ecuaciones cuadráticas de una variable usando el método de fórmula.
definición
Una ecuación cuadrática de la forma ax² bx c=0 (a≠0) se transforma en una ecuación completamente cuadrada con un número desconocido en el extremo izquierdo y una constante no negativa en el extremo derecho, que se puede resolver directamente mediante la método de raíz cuadrada.
Pasos generales
Mover elemento
Haga que el lado izquierdo de la ecuación contenga solo términos cuadráticos y términos lineales, y que el lado derecho sea términos constantes.
Establecer a en 1
Divida ambos lados de la ecuación por el coeficiente del término cuadrático para cambiar el coeficiente del término cuadrático a 1
fórmula
Suma la mitad del cuadrado del coeficiente del término lineal a ambos lados de la ecuación (es decir, suma [b/(2a)]² en la forma general) Convierta la ecuación original a la forma de (x-n)²=m (es decir, convertida en: [x b/(2a)]²=(b²-4ac)/(4a²))
Si m≥0, entonces use directamente el método de la raíz cuadrada para resolver
Si m<0, entonces la ecuación original no tiene raíces reales, es decir, la ecuación no tiene soluciones reales.
Resolver ecuaciones cuadráticas de una variable usando el método de fórmula.
En ax² bx c=0 (a≠0), cuando b²-4ac≥0, ponga a, b, c en la fórmula x=[-b±Ö(b²-4ac)]/(2a) para obtener la ecuación de raíz
El proceso de derivación de la fórmula raíz de una ecuación cuadrática se obtiene siguiendo el desplazamiento de raíz cuadrada de los pasos generales del método de coordinación.
La premisa de utilizar el método de la fórmula para resolver una ecuación cuadrática de una variable es b²-4ac≥0, donde Δ=b²-4ac se llama discriminante.
Si Δ=b²-4ac>0, entonces la ecuación tiene dos raíces reales diferentes, x=[-b±Ö(b²-4ac)]/(2a)
Si Δ=b²-4ac=0, entonces la ecuación tiene dos raíces reales idénticas, x1=x2=-b/(2a)
Si Δ=b²-4ac<0, entonces no hay raíces reales
El papel de Δ=b²-4ac 1. Determinar las raíces sin resolver la ecuación. 2. Determine el rango de valores del coeficiente de letras según la ecuación. 3. Discutir y resolver problemas relacionados con las raíces de ecuaciones cuadráticas de una variable. 4.Δ=0 significa que la ecuación tiene dos raíces idénticas en lugar de una sola raíz.
Pasos generales para resolver ecuaciones cuadráticas de una variable usando el método de fórmula
Transformar a la forma general ax² bx c=0 (a≠0)
Determinar los valores de a, b, c.
Calcular el valor de Δ=b²-4ac
Determine la situación raíz según el valor de Δ=b²-4ac
Si hay raíces reales, usa el método de la fórmula para resolver la ecuación x=[-b±Ö(b²-4ac)]/(2a)
1. Cuando la ecuación contiene letras desconocidas, debe considerarse como una constante. Primero, organice la ecuación en la forma general de una ecuación sobre la incógnita y luego use la fórmula para encontrar raíces bajo la premisa de que b²-4ac≥0. 2. Preste atención al rango de valores de las letras de la pregunta y discútalo.
Método de factorización para resolver ecuaciones cuadráticas de una variable.
Definición de factorización
definición
Al resolver una ecuación cuadrática, primero factorícela, de modo que la ecuación se convierta en una forma en la que el producto de dos ecuaciones lineales sea igual a 0, y luego haga que las dos ecuaciones lineales sean iguales a 0 respectivamente, logrando así una reducción de grado. resolver una ecuación cuadrática El método se llama método de factorización
Bases teóricas
El producto de dos factores es igual a cero, entonces al menos uno de los dos factores es igual a cero, es decir, si ab=0, entonces a=0, o b=0
método principal
Método de extracción de factores comunes.
Usa la fórmula de diferencia al cuadrado
a²-b²=(a b)(a-b)
Usa la fórmula del cuadrado perfecto
a²±2ab b²=(a±b)²
multiplicación cruzada
Si en x² Cx D=0, podemos encontrar D=ab, C=a b, entonces x² Cx D=(x a)(x b)
La relación entre las raíces y los coeficientes de una ecuación cuadrática.
Relación entre raíces y coeficientes.
teorema védico
x1 x2=-b/a, x1·x2=c/a
Corolario importante de la relación entre raíces y coeficientes
Corolario 1
Si la ecuación x² px q=0, entonces x1 x2=-p, x1·x2=q
Corolario 2
Una ecuación cuadrática de una variable con dos números x1 y x2 como raíces (el coeficiente del término cuadrático es 1) se puede expresar como: x²-(x1 x2)x x1·x2=0
Condiciones incluidas
La ecuación es una ecuación cuadrática, es decir, el coeficiente del término cuadrático no es cero, a≠0
La ecuación tiene raíces reales, es decir, si Δ=b²-4ac≥0
variante corolario
x1² x2²=(x1² 2x1·x2 x2²)-2x1·x2=(x1 x2)²-2x1·x2
1/x1 1/x2=(x1 x2)/(x1·x2)
(x1 a)(x2 a)=x1·x2 a(x1 x2) a²
|x1-x2|=√((x1-x2)²)=√((x1 x2)²-4x1·x2)
Discuta la relación entre raíces y coeficientes. Símbolos de raíces.
Si las dos raíces de la ecuación cuadrática ax² bx c=0 (a≠0) son x1 y x2, entonces
Δ≥0, y x1·x2>0
x1 x2>0
Ambas raíces son números positivos.
x1 x2<0
ambos son numeros negativos
Δ>0 y x1·x2<0
x1 x2>0
Las dos raíces tienen signos diferentes y la raíz positiva tiene un valor absoluto mayor.
x1 x2<0
Las dos raíces tienen signos diferentes y la raíz negativa tiene un valor absoluto mayor.
Soluciones a ecuaciones y sistemas de ecuaciones.
Generalmente, el conjunto de todas las combinaciones de soluciones de una ecuación se denomina conjunto solución de esta ecuación.
La intersección de los conjuntos de soluciones de cada ecuación es el conjunto de soluciones del sistema de ecuaciones.
Desigualdad cuadrática de una variable.
concepto
definición
Generalmente, llamamos desigualdad cuadrática de una variable a una desigualdad que contiene solo un número desconocido y el grado más alto del número desconocido es 2. La forma general de una desigualdad cuadrática de una variable es ax² bx c>0, o ax² bx c<0, donde a, b, c son todas constantes, a≠0
Expresión, donde a, b, c son todas constantes, a≠0
ax²bxc≤0
ax² bxc<0
ax² bxc≥0
ax² bxc>0
Conjunto de soluciones, donde a, b, c son todas constantes, a≠0
ax² bxc≥0
El conjunto de valores de la variable independiente x tal que el valor de la función y=ax² bx c es mayor o igual a 0
ax² bxc>0
El conjunto de valores de la variable independiente x tales que el valor de la función de y=ax² bx c es un número positivo
ax²bxc≤0
El conjunto de valores de la variable independiente x tales que el valor de la función de y=ax² bx c es menor o igual a 0
ax² bxc<0
El conjunto de valores de la variable independiente x tal que el valor de la función y=ax² bx c es un número negativo
punto cero de la función cuadrática
Generalmente, para la función cuadrática y=ax² bx c, llamamos al número real x que hace que ax² bx c=0 sea el punto cero de y=ax² bx c
Solución a la desigualdad cuadrática de una variable
Δ=b²-4ac
Δ=b²-4ac>0
Δ=b²-4ac=0
Δ=b²-4ac<0
y=ax² bxc
y=ax²bxc>0
y=ax² bx c=0
y=ax²bxc<0
Combine la relación de desigualdad entre el discriminante y la función y resuelva la solución de la desigualdad mediante análisis de imágenes.
Soluciones a desigualdades fraccionarias
4 formas y soluciones de desigualdades fraccionarias.
f(x)/g(x)>0 ⇔ f(x)·g(x)>0
f(x)/g(x)<0 ⇔ f(x)·g(x)<0
f(x)/g(x)≥0 ⇔ f(x)·g(x)≥0, y g(x)≠0 ⇔ f(x)·g(x)>0, y f(x)= 0
f(x)/g(x)≤0 ⇔ f(x)·g(x)≤0, y g(x)≠0 ⇔ f(x)·g(x)<0, y f(x)= 0
La misma relación de solución entre desigualdades y grupos de desigualdad.
f(x)·g(x)≥0
f(x)≥0, y g(x)≥0
O f(x)≤0 y g(x)≤0
f(x)·g(x)≤0
f(x)≥0, y g(x)≤0
O f(x)≤0, y g(x)≥0
El problema del establecimiento constante de desigualdades.
La condición de que el conjunto solución de la desigualdad sea R (o siempre verdadero)
y=ax² bxc
si a = 0
b=0,c>0
y=ax² bx c>0 siempre es cierto
b=0,c<0
y=ax² bx c<0 siempre es cierto
Si a≠0
a>0, Δ<0
y=ax² bx c>0 siempre es cierto
a<0, Δ<0
y=ax² bx c<0 siempre es cierto
Un método para encontrar el rango de valores del parámetro cuando la desigualdad es constante
y=f(x)≤a siempre se cumple ⇔ f(x)max≤a
y=f(x)≥a siempre se cumple ⇔ f(x)min≥a
Distribución de raíces de ecuación cuadrática de una variable.
Requisitos previos
Supongamos que la ecuación ax² bx c=0 (Δ＞0, a≠0) tiene dos raíces desiguales x1, x2 y x1<x2, la función correspondiente es y=ax² bx c
Caso 1: Comparar la magnitud de dos raíces con 0, es decir, comparar las condiciones positivas y negativas de las raíces
a>0
x1<x2<0
①Δ＞0 ②Eje de simetría-b/(2a) < 0 ③f(0)>0
①Δ＞0 ②Eje de simetría-b/(2a) < 0 ③a·f(0)>0
0<x1<x2
①Δ＞0 ②Eje de simetría-b/(2a) > 0 ③f(0)>0
①Δ＞0 ②Eje de simetría-b/(2a) > 0 ③a·f(0)>0
x1<0<x2
①f(0)<0
①a·f(0)<0
un<0
x1<x2<0
①Δ＞0 ②Eje de simetría-b/(2a) < 0 ③f(0)<0
①Δ＞0 ②Eje de simetría-b/(2a) < 0 ③a·f(0)>0
0<x1<x2
①Δ＞0 ②Eje de simetría-b/(2a) > 0 ③f(0)<0
①Δ＞0 ②Eje de simetría-b/(2a) > 0 ③a·f(0)>0
x1<0<x2
①f(0)>0
①a·f(0)<0
Situación 2: Comparación de los tamaños de dos raíces y k
a>0
x1<x2<k
①Δ＞0 ②Eje de simetría-b/(2a) < k ③f(k)>0
①Δ＞0 ②Eje de simetría-b/(2a) < k ③a·f(k)＞0
k<x1<x2
①Δ＞0 ②Eje de simetría-b/(2a) > k ③f(k)>0
①Δ＞0 ②Eje de simetría-b/(2a) > k ③a·f(k)＞0
x1<k<x2
①f(k)<0
①a·f(k)<0
un<0
x1<x2<k
①Δ＞0 ②Eje de simetría-b/(2a) < k ③f(k)<0
①Δ＞0 ②Eje de simetría-b/(2a) < k ③a·f(k)＞0
k<x1<x2
①Δ＞0 ②Eje de simetría-b/(2a) > k ③f(k)<0
①Δ＞0 ②Eje de simetría-b/(2a) > k ③a·f(k)＞0
x1<k<x2
①f(k)>0
①a·f(k)<0
Caso 3: Distribución de raíces en el intervalo, donde m<n<p<q
a>0
m<x1<x2<n
①Δ＞0 ②f(m)>0 ③f(n)>0 ④m＜Eje de simetría-b/(2a)＜n
①Δ＞0 ②f(m)·f(n)>0 ③m＜Eje de simetría-b/(2a)＜n
m<x1<n<x2, o x1<m<x2<n
①f(m)·f(n) < 0
①f(m)·f(n) < 0
m<x1<n<p<x2<q
①f(m)>0 ②f(n)<0 ③f(p)<0 ④f(q)>0 o ①f(m)·f(n) < 0 ②f(p)·f(q) < 0
①f(m)·f(n) < 0 ②f(p)·f(q) < 0
un<0
m<x1<x2<n
①Δ＞0 ②f(m)<0 ③f(n)<0 ④m＜Eje de simetría-b/(2a)＜n
①Δ＞0 ②f(m)·f(n)>0 ③m＜Eje de simetría-b/(2a)＜n
m<x1<n<x2, o x1<m<x2<n
①f(m)·f(n) < 0
①f(m)·f(n) < 0
m<x1<n<p<x2<q
①f(m)<0 ②f(n)>0 ③f(p)>0 ④f(q)<0 o ①f(m)·f(n) < 0 ②f(p)·f(q) < 0
①f(m)·f(n) < 0 ②f(p)·f(q) < 0
Caso 4: Distribución de raíces en el intervalo, x1<m, x2>n
a>0
①f(m)<0 ②f(n)<0
un<0
①f(m)>0 ②f(n)>0
Caso especial
i
Si hay f(m)=0 o f(n)=0 en el intervalo de función f(x) dado (m,n), entonces f(m)·f(n)<0 no se cumple de f(. m)=0, o f(n)=0, es fácil saber que m o n es una de las soluciones de la ecuación, es decir, la ecuación se puede escribir en la forma ax² bx c=(x-m) ·(Ax B), lo que significa que existe un factor (x-m) [o (x-n)], puedes encontrar la otra raíz de la ecuación, determinando así si pertenece al intervalo (m, n), y encontrar la valor o rango del parámetro
ii
Las situaciones 1, 2, 3 y 4 anteriores son todos los resultados de la discusión cuando Δ>0, ignorando la situación de Δ=0. Al resolver realmente el problema, asegúrese de considerar si existe una condición que satisfaga. la condición cuando Δ=0 Valor del parámetro
Desigualdades básicas (desigualdad media)
desigualdades importantes
Si a, b∈R,
Entonces a²≥0 (si y sólo si a=0, se obtiene el signo igual)
|a|≥0, (el signo igual se obtiene si y sólo cuando a=0)
(a-b)²≥0
a²b²≥2ab
[(a² b²)/2]≥[(a b)/2]²
(a b)²≥4ab
Obtener el signo igual si y sólo si a=b
desigualdades básicas
Si a>0, b>0
Entonces: (2ab)/(a b)≤(ab)^(1/2)≤(a b)/2≤[(a² b²)/2]^(1/2)
Desigualdad básica: media armónica ≤ media geométrica ≤ media aritmética ≤ media cuadrada
Memoria: ajusta el número y calcula la fórmula.
Al encontrar el valor óptimo de las desigualdades básicas, es necesario satisfacer una positiva, dos definidas y tres iguales.
La suma de números positivos es un valor constante, entonces el producto de números positivos tiene el valor máximo.
El producto de números positivos es un valor constante, entonces la suma de números positivos tiene un valor mínimo
Extensiones de desigualdades básicas
Media aritmética de tres números positivos - desigualdad de la media geométrica
Si a, b, c∈R, entonces: (a b c)/3 ≥ (abc)^(1/3)
El signo igual se cumple si y sólo si a=b=c
Media aritmética de n números positivos - desigualdad de la media geométrica
Si A1, A2,...An∈R, entonces: (A1 A2... An)/n ≥ (A1·A2·...An)^(1/n)
Propiedades de igualdad y desigualdad.
Igualdad y Desigualdad
El concepto de ecuación.
Una expresión que contiene un signo igual se llama ecuación.
El concepto de desigualdad.
Utilice símbolos matemáticos ≠ ＞ ＜ ≥ ≤ para conectar dos números o expresiones algebraicas para expresar la desigualdad entre ellos. Las expresiones que contienen estos signos de desigualdad se llaman desigualdades.
El concepto de desigualdades en la misma dirección y desigualdades en direcciones opuestas.
Desigualdad en la misma dirección
Si el lado izquierdo de dos desigualdades es mayor (o menor) que el lado derecho, las dos desigualdades se llaman desigualdades en la misma dirección.
desigualdad heterogénea
Si el lado izquierdo de una desigualdad es mayor que el lado derecho y el lado derecho de otra desigualdad es mayor que el lado izquierdo, las dos desigualdades se llaman desigualdades opuestas.
Signos de desigualdad de uso común
Mayor que ＞, menor que ＜, mayor o igual que (al menos, no menor que) ≥, menor o igual a (como máximo, no más que) ≤
El método de diferencias compara dos números reales (expresiones algebraicas)
a-b>0, entonces a>b
a-b<0, entonces a<b
a-b=0, entonces a=b
Para comparar dos números reales cualesquiera, sólo necesitas determinar la relación entre su diferencia y 0.
Propiedades básicas de las ecuaciones.
Si a=b, entonces b=a
Si a=b, b=c, entonces a=c
Si a=b, entonces a±c=b±c
Si a=b, entonces ac=bc
Si a=b, entonces a/c=b/c (c≠0)
Extensión: Si a=b, entonces a^n=b^n (n∈N,N≥2)
Extensión: Si a=b>0, entonces a^(1/n)=b^(1/n) (n∈N,N≥2)
Propiedades de las desigualdades
1Simetría
a＞b⇔b＜a
Reversible
2 Transitividad
a>b, b>c⇒a>c
En la misma dirección
3 Aditividad
a＞b⇔a c＞b c
Reversible
regla de transferencia
a b＞c⇔a＞c-b
Reversible
4 Multiplicabilidad
a>b, y c>0⇒ac>bc a>b, y c<0⇒ac<bc
Preste atención a la situación de c>0 o c<0
5 Aditividad en la misma dirección
a>b, y c>d, ⇒a c>b d
Se puede agregar en la misma dirección.
6 Multiplicabilidad de misma dirección y misma dirección positiva
a>b>0, y c>d>0, ⇒ac>bd
Se puede multiplicar la misma dirección y la misma dirección.
7 exponencialidad
a>b>0,⇒a^n>b^n(n∈N,N≥2)
Tongzheng se puede exponenciar
Las desigualdades en la misma dirección no se pueden restar y las desigualdades en direcciones opuestas no se pueden sumar.
Desigualdades de uso común
propiedad recíproca
a>b, ab>0, ⇒(1/a)<(1/b)
Propiedad de desigualdad 4
a<0<b，⇒(1/a)<(1/b)
a>b>0, y 0<c<d, ⇒(a/c)>(b/d)
0<a<x<b (o a<x<b<0), ⇒(1/b)<(1/x)<(1/a)
Propiedades fraccionarias
Si a>b>0, m>0, entonces
Propiedades de fracciones propias
(b/a)<[(b m)/(a m)]
(b/a)>[(b-m)/(a-m)], donde b-m>0
Es decir: si se suma el mismo número positivo al numerador y al denominador de una fracción propia al mismo tiempo, el valor de la fracción aumenta.
Propiedades de fracción impropia
(a/b)>[(a m)/(b m)]
(a/b)<[(a-m)/(b-m)], donde b-m>0
Es decir: si al numerador y denominador de una fracción impropia se le suma al mismo tiempo el mismo número positivo, el valor de la fracción se vuelve menor.