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Galería de mapas mentales Introducción a la lógica (Chen Bo)
Introducción a la lógica (Chen Bo)
Haber completado el autoestudio: lógica de primer orden y lógica informal, la lógica es la ciencia del razonamiento y la argumentación (la disciplina que estudia el razonamiento), Este mapa es uno de mi arsenal de herramientas para mi uso.
Editado a las 2023-07-29 13:58:42,
- cáncer de pulmón
El cáncer de pulmón es un tumor maligno que se origina en la mucosa bronquial o las glándulas de los pulmones. Es uno de los tumores malignos con mayor morbilidad y mortalidad y mayor amenaza para la salud y la vida humana.
- diabetes
La diabetes es una enfermedad crónica con hiperglucemia como signo principal. Es causada principalmente por una disminución en la secreción de insulina causada por una disfunción de las células de los islotes pancreáticos, o porque el cuerpo es insensible a la acción de la insulina (es decir, resistencia a la insulina), o ambas cosas. la glucosa en la sangre es ineficaz para ser utilizada y almacenada.
- sistema digestivo
El sistema digestivo es uno de los nueve sistemas principales del cuerpo humano y es el principal responsable de la ingesta, digestión, absorción y excreción de los alimentos. Consta de dos partes principales: el tracto digestivo y las glándulas digestivas.
Introducción a la lógica (Chen Bo)
- cáncer de pulmón
El cáncer de pulmón es un tumor maligno que se origina en la mucosa bronquial o las glándulas de los pulmones. Es uno de los tumores malignos con mayor morbilidad y mortalidad y mayor amenaza para la salud y la vida humana.
- diabetes
La diabetes es una enfermedad crónica con hiperglucemia como signo principal. Es causada principalmente por una disminución en la secreción de insulina causada por una disfunción de las células de los islotes pancreáticos, o porque el cuerpo es insensible a la acción de la insulina (es decir, resistencia a la insulina), o ambas cosas. la glucosa en la sangre es ineficaz para ser utilizada y almacenada.
- sistema digestivo
El sistema digestivo es uno de los nueve sistemas principales del cuerpo humano y es el principal responsable de la ingesta, digestión, absorción y excreción de los alimentos. Consta de dos partes principales: el tracto digestivo y las glándulas digestivas.
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- Resumen
La lógica subyacente de los negocios 1-6 6 La lógica subyacente de la distribución
Introducción a la Lógica (Chen Bo) Lógica principalmente formal.
Capítulo 1 La lógica es la ciencia del razonamiento y la argumentación.
Sección 1 La etimología y significado de “lógica”
1. La etimología griega antigua de “lógica”
Los logotipos en inglés se remontan a la palabra griega "logos".
Polisemia, significado principal
Leyes, principios y reglas generales.
Discurso, proposiciones, explicaciones, explicaciones y argumentos.
Racionalidad, razonamiento, capacidad de razonar, teoría abstracta frente a experiencia y razonamiento metódico frente a intuición.
Escala, relación, proporción y razón, etc.
2. Historia y situación actual de la lógica
Representantes de la lógica formal en la antigua Grecia (corriente principal)
La lógica léxica de Aristóteles
silogismo
Lógica proposicional estoica
Divide las proposiciones en proposiciones atómicas y proposiciones compuestas en torno a la "implicación", da cuatro reglas metalógicas y úsalas para demostrar muchos teoremas.
Hubo una interrupción, no entró en la corriente principal.
Dialéctica famosa en el período anterior a Qin en China
La lógica mohista tiene el mayor logro.
lógica india antigua
Debido a que se refiere claramente al conocimiento del razonamiento, la lógica budista
status quo
lógica básica
Lógica clásica y lógica no clásica (lógica formal y lógica informal)
Lógica metalógica e inductiva.
Aplicar lógica
lógica general
Intersección con diversas disciplinas.
3. Objetos de la lógica: razonamiento y demostración.
¿Qué es la lógica?
¿Es la ciencia del razonamiento y la argumentación (el estudio del razonamiento)
misión principal
Proporciona criterios para identificar razonamientos y argumentaciones válidos y razonamientos y argumentaciones inválidos.
Enseñar a las personas a razonar y argumentar correctamente.
Enseñar a las personas a identificar, exponer y refutar razonamientos y argumentos erróneos.
razonamiento
El proceso de pensamiento o forma de pensar que conduce a una nueva proposición (conclusión) a partir de una o algunas proposiciones conocidas (premisas).
razonamiento deductivo
Generalmente recomiendo individualmente
Inevitabilidad: Verdadero o Falso Absoluto
eficiente
inválido
razonamiento inductivo
Generalmente recomendado individualmente.
Probabilidad: posibilidad fuerte o débil
Fuerte inducción
inducción débil
Argumento
El proceso o forma de lenguaje de usar ciertas razones para apoyar o refutar un punto de vista.
Sección 2 Análisis proposicional y tipos lógicos
1. Oraciones, proposiciones, enunciados, juicios y valores de verdad
En sentido amplio, todos los enunciados son verdaderos o falsos, mientras que en sentido estricto, sólo las proposiciones son verdaderas o falsas. Una proposición que se afirma (verdadera o falsa) es un juicio.
Las proposiciones se refieren a oraciones que expresan juicios. Las que no expresan juicios no son proposiciones (como las oraciones interrogativas, imperativas y exclamativas). Diccionario grande p348
2. Proposiciones compuestas y lógica proposicional
Las proposiciones compuestas se componen de conectivas y proposiciones simples (proposiciones atómicas)
varios conectivos
Pareja (conjunción)
Disyunción (disyunción)
compatible
incompatible
Cualquiera o
Hipótesis (condición)
si entonces
Sólo talento, a menos que
si y solo si (si entonces y solo si)
negativo
Los símbolos representan proposiciones.
Artículos constantes
∧, ∨, →, ←→, ┓
variables
p, q, r, s, t, etc.
3. Proposiciones categóricas y lógica léxica
Una proposición categórica afirma que el objeto S tiene una determinada propiedad P, también llamada proposición de propiedad.
Poseer términos de sujeto, predicado, conjunto y cantidad.
Si todo S es P
4. Palabras individuales, predicados y lógica cuantitativa (lógica de predicados)
Poseer palabras individuales, predicados, cuantificadores, conectivos, etc.
Palabras individuales (indicadas con letras minúsculas)
Artículos constantes
El nombre propio específico abc representa
variables
Representación xyz individual incierta
Predicado (indicado con letras mayúsculas)
Representa las propiedades de los individuos en el dominio del discurso y la relación entre individuos.
Por ejemplo, F (x) es un símbolo de predicado de un elemento, R (x, y) es un símbolo de predicado binario, y así sucesivamente.
cuantificador
Nombre completo∀
∀xF(x)
Se lee que para todo x, x es F
Existencia∃
∃xR(x,y)
Leer como hay x tal que x tiene una relación R con y
Por ejemplo, R significa >, x>y
5. Lógica de mutación, lógica de expansión y metalógica
Pertenece a la lógica moderna y es diferente de la lógica tradicional.
Sección 3. Formas de razonamiento y su validez.
1. La estructura formal del razonamiento.
El modelo o marco que retiene el contenido específico de una propuesta.
Por ejemplo: si llueve mañana, Xiao Ming no vendrá a la escuela. Lloverá al día siguiente, por lo que Xiao Ming no vendrá a la escuela.
Si p, entonces q p, entonces q
2. La validez de la forma de razonamiento (¿es relevante? ¿Irrelevante? ¿Relevante? ¿Conclusión alcanzada?)
El razonamiento eficaz puede llevar a conclusiones verdaderas a partir de premisas verdaderas, pero no puede llevar a conclusiones falsas.
Ningún caso especial lleva a una conclusión falsa
El razonamiento no válido también puede conducir a conclusiones verdaderas a partir de premisas verdaderas.
Hay otros casos especiales que llevan a conclusiones falsas (comunes en la lógica léxica (silogismo))
Para que un razonamiento o argumento llegue a una conclusión verdadera y sea convincente, debe satisfacer
premisa verdadera
La forma de razonamiento es válida.
Por el contrario, ¿cuáles son las formas de refutar o debilitar una conclusión?
Refutar directamente la conclusión.
Refutar la premisa (argumento)
formulario de razonamiento de refutación
3. Razonamiento y argumentación en el pensamiento cotidiano
¿Para qué se usa esto?
intercambio de ideas
Cómo detectar errores lógicos
Qué hacer si te enteras
Prueba de "quieres decir"
Sección 4 Leyes básicas de la lógica
La lógica es el cultivo y entrenamiento del espíritu racional.
Constituyen las premisas y presuposiciones más básicas del pensamiento racional y son los requisitos previos mínimos para que continúen el diálogo y la conversación racionales.
¿Qué pasará si no cumples?
Puede haber errores lógicos y emociones de percepción.
Es posible que empieces a discutir o que no puedas continuar la conversación.
1. Ley de Identidad
A es A
En el mismo proceso de pensamiento, todos los pensamientos (incluidos los conceptos y proposiciones) deben permanecer idénticos a ellos mismos.
Una misma forma de expresión (habla, etc.) o pensamiento no puede confundirse con múltiples significados a menos que se indique específicamente.
Falacias que pueden surgir si se viola
Conceptos confusos (involuntarios)
Robar el concepto (violación intencional)
Transferir tema ()
cambia de tema en secreto
2. La ley de la contradicción (la ley de la no contradicción)
No (A y no A)
Dos proposiciones contradictorias no pueden ser al mismo tiempo verdaderas o falsas.
Derive la lógica léxica: dos proposiciones mutuamente opuestas no pueden ser ambas verdaderas, pero ambas pueden ser falsas.
Un diagrama de Venn puede representar visualmente
3. La ley del tercero excluido
A o no A
Dos proposiciones contradictorias deben ser una verdadera y otra falsa.
Derive la lógica léxica: dos proposiciones particulares mutuamente opuestas no pueden ser ambas falsas, pero pueden ser ambas verdaderas.
4. La ley de la razón suficiente (Brainitz)
A,A deduce lógicamente B┣B
Si desea demostrar que B es verdadero, primero debe demostrar que A es verdadero y demostrar que B se puede deducir lógicamente de A.
Aquí "┣" significa "iniciar"
En los libros de matemáticas, "=>" también significa "introducción": A ==> B representa una condición suficiente. Cuando se establece A, también se establece B.
Requisitos específicos
1. Deberá motivarse el punto de vista que se pretende argumentar.
2. Las razones dadas deben ser verdaderas.
3. Los argumentos a alegar deben deducirse de las razones expuestas.
Si no cumple con los requisitos, cometerá los errores de "sin motivo", "falso motivo" y "no se puede deducir".
El argumento debe basarse en un pensamiento cuidadoso y detallado, probar el proceso de pensamiento y finalmente decidir si acepta (cree) la idea o el punto de vista.
Contraejemplo: algunas ideas y opiniones pueden ser muy agradables y razonables en términos generales, pero no pueden soportar análisis y pruebas rigurosos y precisos.
resumen
¿Cuál es la diferencia y conexión entre razonamiento y argumentación?
La diferencia es que el razonamiento puede partir de premisas falsas, mientras que la argumentación debe partir de premisas verdaderas o comúnmente aceptadas por todos.
¿Qué es la lógica? ¿Objetivo?
La lógica es la ciencia del razonamiento y la argumentación.
Este libro se refiere a la lógica formal.
Objetivo
Reconocer si el razonamiento y los argumentos son válidos o inválidos.
Enseñar a las personas a razonar y demostrar correctamente.
Identificar, exponer y refutar razonamientos y argumentos erróneos.
El análisis de proposiciones desde diferentes ángulos conduce a diferencias en las teorías lógicas.
Lógica proposicional
lógica léxica
lógica de predicados
Se puede utilizar para ambos de los anteriores, con una gama más amplia.
Capítulo 2 Lógica Proposicional (Lógica Conectiva, que expresa la relación entre proposiciones)
Sección 1 Conectivas diarias y proposiciones compuestas
1. Proposiciones simples y proposiciones compuestas
Las proposiciones simples se dividen en diferentes términos y no se pueden dividir más en proposiciones. También se llaman proposiciones atómicas.
Una proposición compuesta es una proposición que contiene otras proposiciones. Se forma conectando otras proposiciones con ciertos conectivos.
Por ejemplo: hoy no llueve
Clasificación de proposiciones compuestas
2. Propuesta conjunta
Y: una proposición que afirma la existencia simultánea de varias cosas.
∧ (conjunción)
y, y, y, y luego, etc.
La proposición ramificada de un pareado se llama "vínculo". A veces se puede omitir el sujeto o predicado de un pareado.
Ejemplos de sujetos provinciales
Ejemplos de términos predicados
Tres formas válidas
Fórmula sintética
descomposición
negativo
3. Proposición disyuntiva
O: Concluir que existe al menos una de varias cosas.
∨ (disyunción)
O cualquiera de las dos, o, si no, simplemente espera.
"Rama disyuntiva" "Rama disyuntiva"
Si una proposición disyuntiva agota todos los componentes disyuntivos, entonces esta proposición disyuntiva debe ser verdadera.
Tipos y expresiones válidas
Compatible (puede ser cierto al mismo tiempo)
negativo afirmativo
positivo afirmativo
Incompatible (no puede ser cierto al mismo tiempo)
negativo afirmativo
afirmativo negativo
4. Proposición hipotética
Proposición condicional: afirma una cierta relación condicional entre el antecedente y el consecuente
→(implica)
Una declaración de rama (antecedente y consecuente) tiene una condición y un resultado.
Condiciones suficientes (falso si la primera parte es verdadera y la segunda parte es falsa)
Si entonces
antecedente afirmativo
Poscondición negativa
Condiciones necesarias (falsas si la primera es falsa y la segunda es verdadera)
Solo solo
antecedente negativo
Sólo p, sólo q no p Entonces no q
posparto afirmativo
Condición necesaria y suficiente
si y solo si
p y q son verdaderos y falsos
5. Proposición negativa
No
┓
Sección 2 Conectores del valor de verdad Formulario del valor de verdad
1. De los conectivos diarios a los conectivos de valores de verdad
Los conectivos proposicionales también se llaman constantes proposicionales (solo tienen un significado fijo y no cambiarán)
Un conectivo proposicional que conecta varias proposiciones es un conectivo de varios elementos.
Problemas con los conectivos diarios en lógica.
impreciso
Contiene mucho contenido ilógico.
Como yuxtaposición, sucesión, progresión, transición, contraste, etc.
Reglas y convenciones para omitir paréntesis
(1) Los paréntesis más externos de la fórmula siempre se pueden omitir
(2) Como en la aritmética, cuando no hay paréntesis, primero multiplica y divide y luego suma y resta: la prioridad es de mayor a menor ┓, ∧, ∨, →, ←→
(3) Se acepta que (A∧B)∧C se puede escribir como A∧B∧C, y lo mismo ocurre con ∨, pero A→(B→C) se escribe como A→B→C.
2. Asignación y asignación de forma de valor de verdad
┓p, (p∧q), (p∨q), (p→q), (p←→q) son negación, conjunción, disyunción, implicación e igualdad respectivamente.
Sea p verdadero/falso, esto se llama asignar un valor de verdad y el significado del conectivo de verdad se llama interpretación (función de verdad)
Un conjunto de asignaciones de verdad y una interpretación (una función de verdad) constituyen una asignación de verdad.
Si p→q, sea p verdadero y q falso, entonces p→q sea falso
Una fórmula que contiene n variables proposicionales tiene 2ⁿ posibles combinaciones de valores de verdad.
Fórmula = forma de verdad = función de verdad
p y q son equivalentes a x (variable independiente) e y (variable dependiente) en la función
3. Negación
4. Conjunción
Tanto p como q son verdaderas
5. Disyunción
Compatible: p y q son verdaderos si al menos uno de ellos es verdadero
Incompatible: Si alguna de las alternativas es verdadera, las otras alternativas deben ser falsas.
6. Implicación
La premisa es verdadera y la conclusión es falsa sólo si es falsa (no se puede generalizar usando si-entonces)
Entonces una proposición verdadera puede estar implicada por cualquier proposición (consecuente verdadero)
Un hecho puede estar implicado por cualquier proposición, es decir, sucedió pase lo que pase.
La implicación sustantiva entra en conflicto con el conectivo diario "si entonces". Cuando aparecen dos símbolos de implicación, se vuelve incómodo y contraintuitivo.
Cuando uno acusa la vinculación sustantiva, también conduce lógicamente a acusar la comprensión de los restantes ┓∨∧ conectivos de verdad.
Ya sea p o q
p o q
No p → q
┓p∨q
┓┓p→q
p→q
Dos expresiones pueden considerarse equivalentes si sus tablas de verdad son consistentes.
7. Equivalencia
El antecedente y el consecuente son verdaderos y falsos; en caso contrario, la ecuación es falsa.
8. Simbolización de proposiciones compuestas en lenguaje natural.
Primero determine a qué proposición pertenece el lenguaje natural.
Analizar el significado y a qué proposición equivale
Por ejemplo, "Quiero (p)" en el Ejemplo 2 significa que desea lograr un determinado resultado, que es una condición necesaria de la proposición de hipótesis q → p.
Sólo p es equivalente a q
si q entonces p
El lenguaje es antinatural, incómodo y extraño (razones para descartar significado y contenido).
Sólo p es q
si no p entonces no q
si p entonces q
Sólo q es p
Si p entonces q es equivalente a "p sólo si q"
Si p, entonces q es equivalente a "no p a menos que q", o "no p a menos que q"
p→q es equivalente a ┓q→┓p
si p entonces q si no r
(p→q)∧(┓p→r)
q a menos que p
¬p→q
¬q→p
p, en caso contrario q
Lo mismo que arriba
p a menos que q
¬q→p
subtema
Sección 3 Tautologías y sus métodos de determinación
forma de verdad
Tautología (válida, satisfactoria)
El verdadero valor siempre es cierto.
Forma contradictoria (forma inválida, forma satisfactoria)
vacaciones permanentes
Incluso forma verdadera (forma no válida)
Algunas son ciertas y otras son falsas
1. Tautología
El objetivo de la lógica proposicional es encontrar el conjunto de todas las tautologías.
Procedimiento de determinación
1 Cada paso del programa está especificado por un conjunto de reglas dadas de antemano.
2El programa puede finalizar en pasos finitos
3. Puede dar el único resultado cierto para el objeto juzgado.
Dudas comunes sobre tautología
Ley de Peirce
A∨B→((A→B)→B)
Se omite la ley del medio excluido B∨┓B, es decir, la ley del medio excluido puede reemplazarse únicamente por el símbolo de implicación.
Pieza frontal reforzada
(A→B)→(A∧C→B)
Es controvertido. Si las propiedades de C pueden lograrse distintas a las de B, es posible que no se obtenga el resultado B.
A∧┓B→B es incluso cierto, lo cual no es cierto cuando A es verdadero y B es falso.
La ley de identidad, la ley de contradicción y la ley del tercero excluido en la lógica proposicional: A→A A∨┓A .┓(A∧┓A) son solo la encarnación espiritual de las tres leyes básicas de la lógica. no es identico.
2. Método de la tabla de verdad
Una fórmula que contiene n variables proposicionales tiene 2ⁿ posibles combinaciones de valores de verdad.
Utilice una lista para enumerar las combinaciones de valores de verdad de todas las variables de la proposición, enumere los valores de verdad de todas las subfórmulas, desde simples a complejas, y finalmente obtenga todas las situaciones de valores de verdad de la fórmula.
Ventajas: mecánico, fácil de operar, intuitivo y claro de un vistazo, el más confiable
Desventajas: para fórmulas con muchas variables de proposición, la carga de trabajo es demasiado grande y lleva mucho tiempo.
3. Método de asignación de reducción al absurdo
Si la asignación es falsa, si hay una contradicción, no es una contradicción.
Ventajas: Simplificación de la tabla de verdad.
Desventajas: Es posible que se requieran varias tareas, lo que no es intuitivo y es fácil cometer errores.
4. Método del diagrama de árbol
método de asignación de reducción al absurdo
Reglas acordadas: cinco conectivos de valores de verdad, un total de 9 reglas
Una rama representa una combinación de valores de verdad.
La bifurcación representa varias situaciones.
Para determinar la fórmula A, dejemos que A sea falso, luego ┓A es verdadero y luego comience a dibujar el diagrama de árbol de ┓A
A es una tautología si y sólo si ┓Cada rama (combinación de valores de verdad) del diagrama de árbol de ┓A está cerrada (marcada con ×)
Mientras haya una rama sin ×, A no es una tautología
Cuando encuentre subfórmulas bifurcadas y no bifurcadas, dibuje primero las no bifurcadas; de lo contrario, se repetirá y la carga de trabajo será pesada.
Sección 4 Implicaciones tautológicas y equivalencias tautológicas
1. La estructura formal del razonamiento: implicación tautológica
Buscar
Conectivos de verdad para el nivel más externo.
Preguntas frecuentes sobre implicaciones
Condiciones predeterminadas
argumento circular
Sobre si Dios es omnipotente
2. Tautología de las reglas de equivalencia y sustitución
Estas reglas sirven como herramientas
Se puede utilizar para cualquier palabra conectiva, siempre que la fórmula reemplazada sea equivalente a la fórmula reemplazante.
Sección 5 Razonamiento natural de la lógica proposicional
1. PN (Sistema de reglas de deducción lógica proposicional)
Teorema: es una fórmula derivada utilizando reglas de deducción Pᴺ sin premisas ni suposiciones.
Se puede utilizar directamente para inferencias sin pruebas.
Las reglas de la deducción por analogía no requieren prueba.
Cuando Γ├A (Γ es un determinado conjunto de fórmulas o hipótesis) y Γ = ∮ (el conjunto vacío), entonces A es una fórmula demostrable de Pᴺ, denominada teorema.
Pᴺ reglas de deducción
conjunción
1～Regla de eliminación∧⁻
A puede derivarse de A∧B; B puede derivarse de A∧B
A∧B├A;A∧B├B (simplificación)
2~Introducción de reglas ∧⁺
De A y B, podemos deducir A∧B
A,B├A∧B (fusionar)
Extracto
3 reglas de eliminación∨⁻
A∨B,A→C,B→C├C (fórmula simple de razonamiento difícil)
4Introducción de reglas ∨⁺
A├A∨B;B├A∨B (ley adicional)
implicación
5→⁻
A→B, A├B (confirmado)
(Debe usarse para deducir el axioma sin premisas) 6→⁺
Si Γ, A├B, entonces Γ├A→B (introduciendo una hipótesis, que a su vez puede asumirse como falsa por contradicción, y debe ser verdadera)
Prueba por contradicción: un conjunto de fórmulas Γ es falso si y sólo si las premisas son verdaderas y la conclusión es falsa
Si en la cocina no falta nada y hay ingredientes, puedes cocinar
Equivalente a: En la cocina no falta de nada. Si hay ingredientes se puede cocinar.
Expresiones de implicación del teorema de Pᴺ de uso común
¬A→(A→B), B puede tener cualquier fórmula
Se utiliza para prueba por contradicción, introduciendo la fórmula contradictoria para obtener la fórmula original.
De manera similar A→(¬A→B)
equivalente
7←→⁻
A←→B├A→B;A←→B├B→A
8←→⁺
A→B, B←A├A←→B
negativo
9 ┓⁻
Si Γ, ┓A├B, ┓B entonces Γ├A (prueba por contradicción)
10┓⁺
Si Γ, A├B, ┓B entonces Γ├┓A (reductio ad absurdum)
reglas de autopresentación
11∈
Si Ai∈Γ, entonces Γ├Ai (asumir un conjunto de premisas equivale a asumir cada premisa)
Cualquier hipótesis se puede deducir de un conjunto de hipótesis.
Teorema de Pᴺ y su método de demostración o deducción
Convención de escritura (el propósito es establecer una cadena de razonamiento fluida o perfecta)
① Enumere todas las premisas dadas en líneas separadas al principio e indique la premisa a la derecha de cada fórmula de premisa.
② Si desea introducir supuestos, de la misma manera que ①, es mejor enumerar todos los supuestos al principio y marcarlos uno por uno.
③Cada vez que aparezca una hipótesis, muévala un espacio a la derecha de la fórmula anterior.
Demuestre que ésta es una suposición basada en la suposición anterior.
④Cada vez que aparezca una fórmula, indique la fórmula y las reglas de deducción en las que se basa a la derecha de la fórmula.
⑤Las fórmulas obtenidas de ∨⁻∨⁺∧⁻∧⁺→⁻ ←→⁻←→⁺∈ bajo un supuesto están todas alineadas con este supuesto, lo que indica que todas estas fórmulas dependen de este supuesto y de los supuestos anteriores.
⑥Si se obtiene una fórmula basada en →⁺┓⁻┓⁻, entonces déjela llevarse y alinearse con los supuestos anteriores, indicando que se basa en los supuestos anteriores y anteriores, y los supuestos y fórmulas en este edificio se eliminan y no pueden ser usado.
⑦Dibuje una línea vertical después del número de paso de la deducción para indicar el inicio y el final de la deducción, si es una hipótesis, agregue un pequeño círculo en la parte superior;
Metateorema, el proceso de demostración es muy complicado.
Una cadena de razonamiento con lagunas
Leibniz demostró que 2 2 = 4
Sumando la ley asociativa de la suma sin ninguna premisa
No escribas según las reglas, salta demasiado rápido para ser inteligente
Es mejor caminar despacio y con paso firme
Estrictamente preciso pero también algo técnico (cómo sacar la derecha de la izquierda, o cómo sacar la izquierda de la derecha)
Suponga condiciones posibles para todas las ramas, como la solución violenta del Sudoku.
Si el lado derecho es disyuntivo, se asumen cada uno por separado, y si el lado derecho es conjuntivo, se obtendrán ambos.
Uso de teoremas probados y reglas derivadas (para simplificar el proceso de demostración)
El teorema de Pᴺ es una tautología. De manera similar, la permutación equivalente de PR es una tautología y puede citarse directamente.
Capítulo 3 Lógica de términos (dividir la proposición para expresar la naturaleza de cada componente dentro de la proposición)
1. Propuesta contundente
estructura basica
(Término de cantidad) Término sujeto (Cotérmino) Término predicado
El contenido extra lo incorpora a la estructura, ignorando sus relaciones (lógica proposicional)
El pareado positivo se puede omitir, pero no el pareado negativo.
Clasificar proposiciones según cantidades.
propuesta de nombre completo
propuesta especial
Hay una propuesta, hay al menos un individuo.
Por tanto, si S es P, no se puede inferir que S no es P.
Del principio débil
Al menos uno, como mucho todos
proposición singular
Se refiere a un nombre propio o descripción, que significa "esto, aquello".
Clasificación
El nombre completo es proposición afirmativa SAP (A)
Todas las S son P
Nombre completo SEP Negativo (E)
No todas las S son P
Afirmación de nombre especial SIP (I)
Alguna S es P
Especialmente llamado SOP negativo (O)
Alguna S no es P
singular
SaP(a) afirmativa singular
a es p
Negación singular SeP(e)
a no es p
Tratada como un caso especial de proposición universal, es fácil cometer la falacia de confundir conceptos.
relación sujeto-predicado
Los términos sujeto y predicado sólo consideran la denotación (el objeto, colección o categoría a la que hace referencia el término) y no estudian la connotación (el contenido y significado expresado por el término).
Ejemplo: personas
Connotación: Animales capaces de realizar actividades de pensamiento.
Denotación: todas las personas que alguna vez han existido
La esencia es la relación entre dos conjuntos no vacíos. Para abordar la relación, primero debes encontrar la extensión.
La razón para no considerar la connotación: todos tienen diferentes entendimientos, diferentes opiniones, problemas.
relación denotativa
misma relacion
S es igual a P
relación de inclusión
S contiene P
incluido en
S está incluido en P (hay S en P)
cruz
Algunas S son P, algunas S no son P
Completamente diferente
La relación entre sujeto y predicado relativa al tercer concepto (los tres juntos son el conjunto completo) se puede dividir en
relación contradictoria
relación de oposición
relación correcta
relación de oposición
A y E
No puede ser lo mismo que verdadero, puede ser lo mismo que falso
relación contradictoria
A y O
e y yo
Verdadero y falso no pueden ser lo mismo, uno debe ser verdadero y el otro falso
SAP←→┓SOP
Lo mismo ocurre con los siguientes
Relación diferencial (relación subordinada)
a y yo
E y O
Lo verdadero universal implica lo verdadero específico, lo falso específico implica lo falso universal.
Menor relación de oposición
yo y o
Puede ser tanto verdadero como falso
ductilidad
definición
Si la proposición categórica dada afirma (implica) todas las propiedades extensionales del sujeto o predicado
Se concluye que todas las extensiones están distribuidas, de lo contrario no se distribuyen.
4 tipos de situación de difusión de propuestas
A
Semana principal significa no semana
Por ejemplo: Todas las personas son animales, entonces todos los animales son personas.
No atrae a todos los animales, sino sólo a la parte de todos los animales que son seres humanos.
mi
Señor Zhou significa Zhou
I
Si el Señor no es Zhou, se llama Bu Zhou.
Algunas extensiones de S y P no se mencionan.
oh
Si el Señor no es Zhou, entonces Zhou se llama Zhou.
Algunas personas no son estudiantes de la Universidad de Pekín y algunos estudiantes de la Universidad de Pekín no son seres humanos.
No demandó si los estudiantes de la Universidad de Pekín eran algo más que personas. Sólo demandó a todos los estudiantes de la Universidad de Pekín y a algunas personas.
generalizar
El nombre completo es Zhuzhou, el nombre especial es Zhubuzhou, definitivamente se llama Buzhou y negativamente se llama Zhou.
Personalmente pienso en la importancia
En el lenguaje cotidiano se mencionan o no los motivos para refutar a la otra parte.
2. Razonamiento directo
definición
Inferencia que parte de una proposición categórica (premisa) y deriva otra proposición categórica como conclusión
Aviso
Distinguir entre P y ┓p
términos y proposiciones respectivamente
método
Sustitución ("en otras palabras")
Definición: Cambiar una proposición categórica de afirmación a negación (cualitativa), o de negación a afirmación, y cambiar el predicado a su concepto contradictorio (complemento) para obtener una proposición categórica equivalente.
Características
El término sujeto permanece sin cambios y el término cuantitativo (nombre completo, término especial, término singular) permanece sin cambios.
Los cotérminos (sí, no, ambos, ninguno) y los términos predicados se convierten en sus propios conceptos contradictorios.
P cambia a P, es decir, el conjunto de P se convierte en el conjunto complementario
La nueva proposición categórica obtenida tiene el mismo valor de verdad que la proposición categórica original.
No puede ser simplemente representado por AEIO.
SAP←→SEP
Todas las personas son animales ←→ Todas las personas no son no animales
SEP←→SAP
Todas las personas no son animales ←→ Todas las personas no son animales
SIP←→SOP
Algunos S son P←→Algunos S no son no P
POE←→SIP
Algunos S no son P←→Algunos S no son P
método de transposición
Definición: Una nueva proposición categórica (conclusión) se obtiene intercambiando los términos sujeto y predicado de una proposición categórica, manteniendo la calidad sin cambios y cambiando los términos cuantitativos.
Si los elementos de la premisa no se distribuyen, no se debe distribuir la conclusión.
Características: La premisa y la conclusión no son necesariamente equivalentes, pero la premisa no debe ser menor que la conclusión. Es decir, si la premisa no se difunde, la conclusión no se puede difundir.
SAP→PIS
Todo S es P → Algunos P es S
SEP→PES
Todo S no es P → Todo P no es S
SIP→PIS
Algún S es P → Algún P es S
El SOP no se puede transponer
Algunos S no son P → Algunos P no son S
Después de cambiar, no hablan de lo mismo, es decir, sujeto y predicado son intercambiables.
Algunas personas no son estudiantes universitarios → Algunos estudiantes universitarios no son personas ×
método de transposición
Definición: Primero cambie la calidad y luego cambie la posición para obtener una nueva proposición categórica.
SAP→SEP→PES
SEP→SAP→PIS
SIP no puede cambiar la posición de calidad
SIP → SOP, SOP no se puede transponer
SOP→SIP→PIS
Método de sustitución (no necesariamente equivalente)
SAP→SEP→PES→PAS
Donde hay humo, hay fuego → Donde hay humo, hay fuego → Donde no hay fuego, hay humo → Donde no hay fuego, no hay humo
debe haber muerte
Sin muerte, sin vida
PAS→PES
El SOP no se puede cambiar violentamente
PIS→POS
Al pensar en cambiar de SAP a SOP, la premisa no se distribuye, pero la conclusión sí se distribuye.
Razonamiento de correspondencia
contra el razonamiento relacional
SAP→┓SEP
SEP→┓SAP
razonamiento de relaciones diferenciales
SAP→SIP
SEP→SOP
┓SIP→┓SAP
┓SOP→┓SEP
razonamiento de relación contradictoria
SAP→┓SOP
SEP→┓SIP
SIP→┓SEP
POE→┓SAP
┓SAP→POE
┓SEP→SIP
┓SIP→SEP
┓SOP→SAP
Razonamiento contra la relación
┓SIP→SOP
┓SOP→SIP
Razonamiento sobre proposiciones singulares
SAP→a es P
Cuidado con no confundir conceptos
Todos los chinos son trabajadores (gente)
Soy Chino
soy trabajador (persona)
Los chinos (concepto colectivo) son trabajadores.
No soy necesariamente trabajador
a es P→SIP
Tres, silogismo
definición
Un silogismo es un razonamiento en el que dos proposiciones categóricas se conectan mediante un término común y se extrae como conclusión una nueva proposición categórica.
Composición (omitiendo términos conjuntos, términos cuantitativos y caso)
premisa mayor
P (término mayor) término común M (término medio)
premisa menor
S (pequeño plazo) mediano plazo M
en conclusión
Término sujeto S (término menor) Término predicado P (término mayor)
Por lo general, la premisa principal implica la mayor cantidad de contenido entre las tres. La conclusión de un razonamiento válido no debe implicar más que la afirmación anterior.
red
Definición: Según las diferentes posiciones del término medio en la premisa, así como la premisa mayor arriba y la premisa menor abajo, los silogismos se dividen en cuatro tipos diferentes.
primera grilla
diputado SM SP
La premisa menor debe ser afirmada. La premisa mayor debe ser llamada en su totalidad.
La letra del medio sólo puede ser A o I, y la primera letra sólo puede ser A o E.
AAA⁻1,AAI-1,AII-1,EAE-1,EAO-1,EIO-1
segunda grilla
PM SM SP
Dos locales deben tener uno o no. La premisa mayor debe ser llamada en su totalidad.
M son todos predicados, por lo que debe haber un no, la conclusión es no, P es extendida y la premisa mayor debe ser completa. La conclusión debe ser negativa.
AEE-2, AEO-2, AOO-2, EAE-2, EAO-2, EIO-2
tercera grilla
diputado EM SP
La premisa menor debe ser afirmada. La conclusión debe ser específica.
Supongamos que la premisa menor es falsa, entonces la conclusión es falsa y P semanas, luego la premisa mayor es P semanas, luego la premisa mayor es falsa y ambas son falsas, entonces la premisa menor debe ser afirmativa Entonces la conclusión S es incompleta y debe llamarse específicamente
AAI-3,AII-3,EAO-3,EIO-3,IAI-3,OAO-3
cuarta cuadrícula
PM EM SP
Si la premisa principal es cierta
entonces la premisa menor debe tener el nombre completo
Si la premisa menor es cierta
entonces la conclusión debe ser específicamente
Si se niega una premisa
Entonces la premisa mayor debe ser nombrada completamente.
EAO-4
OEA-4
Si la premisa mayor es especial
entonces se requiere IAI-4
Si la premisa menor es especial
entonces se requiere EIO-4
AAI-4,AEE-4,AEO-4,EAO-4,EIO-4,IAI-4
6 en cada grilla, un total de 24 ecuaciones válidas, 9 de las cuales contienen ecuaciones válidas con supuestos, y 6 ecuaciones en diferencias (la conclusión puede ser universal pero se obtiene la específica)
Modo
La cantidad total
4*4*4*4 celdas=256
Definición: Los silogismos se dividen en diferentes tipos según la calidad y cantidad de las tres proposiciones categóricas que constituyen el silogismo.
Forma valida
Medida para juzgar
regla
Ilustración
Diagrama de Venn o diagrama de Euler
deducción axiomática
Con base en la premisa mayor (la mayoría de las situaciones) y la premisa menor (situaciones específicas), inferir la conclusión (una pequeña cantidad de situaciones nuevas)
regla
Regla general (suficiente para todos los silogismos)
Regla 1
En un silogismo hay y sólo pueden haber tres términos diferentes.
El término "cuatro errores conceptuales" con más de tres términos tiene múltiples significados
Por ejemplo, las universidades chinas están repartidas por todo el país. La Universidad de Pekín es una universidad en China, por lo que la Universidad de Pekín está repartida por todo el país.
Confundir el concepto de todo (colectivo) y el concepto de individuo
Menos de tres términos "silogismo disfrazado"
Puede ser imposible razonar, la conclusión depende del valor de verdad de las premisas.
Regla 2
El término medio se extiende al menos una vez en la premisa.
Como puente y medio, el término medio debe crear una cierta relación entre la premisa mayor y la premisa menor para producir un resultado inevitable (conclusión). Es necesario que una de las dos premisas sea una relación total (distribución, esta relación se da en cualquier situación), y la otra sea una relación total o parcial.
Error al violar la regla 2
El término medio no se extiende dos veces
La premisa es verdadera y la conclusión es verdadera.
Por casualidad, la conclusión es verdadera, pero la forma del razonamiento no es válida, lo que no es fidelidad lógica (el proceso es incorrecto y el resultado es correcto)
Conclusión falsa
Regla 3
Los artículos que no se distribuyan en el local no deberán distribuirse en la conclusión.
Error de infracción de la regla 3
Planificación inadecuada de grandes proyectos.
Distribución inadecuada de artículos menores.
Regla 4
Dos premisas negativas no pueden conducir a ninguna conclusión definitiva (inevitable)
Hay muchas situaciones inciertas.
Regla 5
Si una de las premisas es negativa, la conclusión es negativa. Si la conclusión es negativa, entonces una de las premisas debe ser negativa.
Violación de la regla 5
La conclusión está en conflicto con la premisa. La premisa es sí y no, la conclusión es sí. La premisa es sí, la conclusión es no.
Reglas de derivación (para fácil reconocimiento y conveniencia)
Regla 6
Ambas premisas no pueden ser específicas.
II,IO,OI,OO
Regla 7
Si la premisa tiene un nombre especial, la conclusión debe tener un nombre especial.
Según la regla 6, uno debe ser completo y otro especial.
teorema
Un silogismo correcto con una conclusión completa en la que un término no puede extenderse dos veces
Refutación resumida en una palabra: no necesariamente
silogismo del lenguaje cotidiano
forma estándar
Primero, convierta todas las premisas y conclusiones en proposiciones categóricas en forma estándar.
Utilice relaciones contradictorias para lidiar con el "no"
Tenga en cuenta que las dobles negativas expresan la afirmación "ninguno...no es" y "todos...son"
Distinguir entre conclusión, premisas mayores y menores y término medio.
La conclusión no contiene el término medio, preste atención al error de cuatro términos.
Escribir en formato
Determinar si el silogismo es válido.
forma no estándar
Elíptico
Premisa mayor provincial
premisa menor
en conclusión
Terminación
Compuesto
Es necesario aclarar y complementar el silogismo contenido en la premisa.
silogismo encadenado
Contiene varios silogismos, la premisa puede omitirse en la conclusión intermedia.
Muchos sinónimos
Puede deformarse por tiempo, lugar y otros parámetros.
4. La cuestión del significado existencial de las proposiciones categóricas
SAP→SEP→PES→PAS→SIP→SOP
Violación de la regla de que los artículos en el local no deben distribuirse y la conclusión no debe distribuirse.
Motivo: Se establece la implicación lógica del término "hipótesis de existencia", es decir, del nombre universal se puede deducir definitivamente el nombre específico, lo que presupone la existencia del sujeto (conjunto no vacío y no completo)
Si se elimina el significado de existencia, entonces la relación entre AEIO y Dang ya no se establece.
A y E ya no son superiormente opuestos. Si S no existe, A y E pueden ser igualmente verdaderos (las premisas falsas implican cualquier conclusión).
I y O ya no se oponen. Si S no existe, ambos pueden ser falsos.
El método de transposición restringida y el método de transposición restringida involucrados en un cambio a I ya no son válidos.
En el silogismo ya no son válidas las 9 fórmulas válidas que conducen a la conclusión particular a partir de las dos premisas universales.
La proposición categórica de lógica léxica AEIO contiene S.
5. Juicio gráfico de validez del silogismo.
método
método de juicio del diagrama de Euler
Sin restricciones
Método de juicio del diagrama de Venn
No se supone que el sujeto exista y las 9 expresiones válidas del nombre universal y el nombre especial no son válidas aquí.
Si se supone que el sujeto existe, dibuje ⊕ para indicar que no está vacío
Los tres círculos representan los términos sujeto, predicado y medio respectivamente. Dibuja todos los contenidos mencionados en la premisa.
Dé prioridad a dibujar el nombre completo de la proposición y dibuje la sombra del dominio de discusión sin el tema.
Las proposiciones especiales están representadas por " ". Si no está seguro de qué lado de la línea colocar, simplemente dibuje " " en la línea.
Capítulo 4 Lógica de predicados
razones derivadas
Compensar las limitaciones de la lógica proposicional y la lógica léxica, y ser capaz de manejar proposiciones relacionales y su razonamiento, proposiciones de propiedad que contienen conectivos en cuantificadores y su razonamiento (puede manejar propiedades y relaciones)
área de investigación
Inferencias basadas en conectivos
Inferencias basadas en cuantificadores
Inferencias basadas tanto en conectivos como en cuantificadores.
Todas las proposiciones se pueden razonar con lógica de predicados.
Sección 1 Palabras individuales, predicados de propiedades, cuantificadores y fórmulas
División de proposiciones en lógica de predicados
palabras individuales
Símbolos que representan individuos en el dominio del objeto.
variables individuales
xyz, etc. representan un objeto incierto dentro de un rango específico (dominio del discurso o dominio individual)
Una función de n elementos que contiene n elementos representa la relación entre variables individuales.
Por ejemplo, G (x, y) significa que la relación entre xey tiene propiedades G, y la función binaria
constante individual
abc, etc.~objetos determinados
algo con un nombre propio
La capital de un determinado país F(x) La capital de China F (xᵃ)
Dominio del discurso (dominio individual)
Generalmente se refiere a todo el dominio, es decir, cosas de las que se puede pensar y hablar en el mundo.
Habla de todo en la conversación diaria, no de un ámbito específico.
Si el dominio del discurso es D, Vx se expresa como todos los valores de x en el dominio del discurso D
predicado
Predicado unario (predicado de propiedad)
Símbolos de predicado, representados por letras mayúsculas.
Representa la naturaleza de un individuo, con un solo término.
Dos términos o más representan la relación entre ellos, predicado n-ario
fórmula atómica
Por ejemplo, F(a), G(x) significa que a es F y x es G.
Predicados múltiples (predicados relacionales)
Involucrando n objetos, n>1
cuantificador
Nombre completo V.
VxF(x) se lee como "para todo x, x es F"
∀xAx：Ax¹∧Ax²∧……∧Axⁿ∧……
Todos los individuos con un determinado atributo (F) en el dominio del discurso.
Existencia∃
∃xF(x) se lee como "x existe tal que x es F"
∃xAx：Ax¹∨Ax²∨……∨Axⁿ∨……
Hay individuos con ciertos atributos en el dominio del discurso.
palabra conectiva
Jurisdicción
Fórmula cuantitativa
Como Vx(F(x)→G(x)) ∃xF(x)∧VyH(y)
El alcance de los cuantificadores.
Si hay paréntesis, cuida lo que hay dentro de los paréntesis. Si no hay paréntesis, simplemente ignore la fórmula más corta que aparece al lado.
Como por ejemplo VxF(x)∧G(x)
El alcance del cuantificador Vx es F(x)
variables de restricción
Fórmulas que aparecen con restricciones.
aparece la restricción
Una determinada ocurrencia de una variable está regida por un cuantificador, es decir, aparece dentro del alcance
variables libres
Hay fórmulas que aparecen libremente
Fórmula abierta
Una fórmula que contiene al menos una variable libre cuyo valor verdadero no se puede determinar.
fórmula cerrada
Una fórmula sin variables libres, determinada por el valor de verdad interpretado de un universo dado de discurso y símbolos y constantes de predicados.
Las variables individuales pueden ser restringidas y libres al mismo tiempo.
Simbolización de proposiciones cualitativas en lenguaje natural.
6 tipos de proposiciones categóricas
Nombre completo definitivamente SAP
Vx(S(x)→P(x))
relación de subconjunto
SEP
Vx(S(x)→┓P(x))
SORBO
彐x(S(x)∧P(x))
Existe x, x es S y x es P
relación de intersección
COMPENSACIÓN
彐x（S（x）∧┓P（x））
Existe x, x es S y x no es P
a es p
Pensilvania)
ejemplo
F(x): padre de x G(x): autor de x Q(x): x es de la dinastía Qing P (x, y): x es un funcionario textil de y R: Cao Xueqin b: "Un sueño de mansiones rojas" c: Jiang Ning
El autor de Dream of Red Mansions era de la dinastía Qing.
Q(G(b))
El abuelo de Cao Xueqin era funcionario de la Administración Textil de Jiangning.
P(F(F(a)),c)
a no es p
┓a
┓P(a)
Si se determina que el dominio de discusión es un rango específico, entonces sólo podemos hablar de las propiedades de los individuos dentro del alcance del dominio del discurso.
Si no todos somos una planta, el dominio de discusión son los seres humanos
Vx┓S(x)
abreviatura SEP
Para todos los individuos, si el individuo es un humano, entonces el individuo no es una planta.
Sección 2: Predicados relacionales, cuantificación superpuesta, propiedades de relaciones binarias
proposición relacional
Concluir que existe una cierta relación entre individuos.
elementos
palabras individuales
predicado relacional
Involucrando a dos o más individuos, más de dos díadas
cuantificador
Lenguaje de primer orden L (lenguaje de lógica de predicados de primer orden)
lógica de predicados de segundo orden
El alcance del cuantificador afecta a los predicados, no sólo a los individuos
composición
símbolo inicial
variables individuales
constante individual
símbolo predicado
cuantificador
palabra conectiva
símbolo auxiliar
reglas de forma
Si A es una fórmula, A puede ir precedida de un cuantificador. O A puede ser un cuantificador (restricción nula) O si A contiene un cuantificador, puede ir seguido de un cuantificador (restricción de repetición)
VxA, 彐xA, A puede ser cualquier fórmula
cuantificadores superpuestos
También hay cuantificadores en el ámbito de los cuantificadores.
Repetir palabras individuales encuadernadas
Las fórmulas que contienen cuantificadores superpuestos se denominan fórmulas de cuantificación superpuestas.
Preste atención para distinguir entre cuantificación repetida, cuantificación superpuesta y restricciones nulas
La cuantificación repetida significa que varios cuantificadores restringen el mismo objeto (individual), solo el último tiene efecto.
Si 彐xVx彐xF(x) es igual a 彐xF(x)
Una restricción vacía significa que el cuantificador no tiene ningún objeto de restricción, lo que significa que no tiene ningún efecto.
Si VxF(y) es igual a F(y)
Vx彐yA no se puede cambiar a 彐yVxA
La jurisdicción ha cambiado.
Simbolización de proposiciones relacionales en lenguaje natural.
Por ejemplo, no existe un número natural mayor (refiriéndose a 0, 1, 2, 3...)
Lo mejor es traducirlo en una fórmula que no tenga símbolos negativos y cuyo alcance quede claro de un vistazo.
Se puede entender como "Siempre hay un número natural mayor que cualquier número natural".
Para cualquier x, si x es un número natural, entonces existe y tal que y es un número natural y y es mayor que x
La traducción literal es que no existe un número natural más grande.
todos tienen padres
Todo el mundo tiene personas como sus padres.
Todo el mundo tiene un padre y una madre.
Mala traducción que no expresa relación: Vx (Hx→Px)
Si John tiene un burro, entonces a John le gusta.
Para cualquier individuo, si es un burro y es propiedad de Juan (a), entonces le gusta.
Vx（Dx∧Hax→Lax）
Traducido a la existencia, implica variables libres (que pueden ser cualquier cosa en el dominio del discurso). Es inapropiado.
También es inapropiado traducir existencia como que implica existencia, indicando que el antecedente y el consecuente no están relacionados, y que el burro en el antecedente no es necesariamente el burro en el consecuente.
Preste atención para expresar la relación entre los predicados, es decir, expanda los símbolos de los predicados y escriba
Problema de cantidad individual
Cuantificadores como al menos, exactamente, como máximo, etc.
Utilice s≠t para expresar ¬ (s=t)
Propiedades lógicas de las relaciones binarias Problemas de clasificación
Diferentes relaciones de diferente naturaleza.
reflexivo
x tiene una relación R consigo mismo x
Simétrico
La posición xy se puede cambiar.
La relación R es simétrica si y sólo si, VxVy(R(x,y)→R(y,x))
transitivo
Puede haber una relación R entre xyz y xyz
Sección 3 Modelo y Asignación de Fórmulas Universales Válidas
L obtiene significado y valor de verdad a través de M y asignación
Modelo M
Dominio individual D
Dado un conjunto no vacío compuesto de individuos con ciertas propiedades
Si el dominio individual D es el dominio global, entonces x es cualquier cosa
Una función interpretativa I sobre D
I interpreta la constante individual c en L (lenguaje de primer orden) como un individuo específico I(c) en D, y el símbolo predicado se interpreta como un conjunto de individuos con ciertas propiedades en D
Por ejemplo, en σ(F(t1,t2,t3...)), F representa el conjunto de palabras individuales entre paréntesis
Una fórmula cerrada (una fórmula sin variables libres) solo tiene cosas (símbolos de predicado, cuantificadores, variables de restricción, constantes individuales), y se determinan el significado y el valor de verdad.
Asigne un valor a σ (solo se pueden elegir dos valores, verdadero y falso, T y F)
Asignar ρ: asignar individuos en D a todas las variables libres en L a la vez
(Especifique a quién enviar y con qué propósito)
Al igual que Li Bai, es imposible juzgar qué es Li Bai sin asignarle
σ＝<M,ρ>
Varias fórmulas son verdaderas bajo σ si y sólo si
F(t¹t²…)
es cierto bajo σ si y sólo si t¹t²… tiene una relación F (pertenece al conjunto F)
σ<t¹t²…>∈σ(F)
VxA (piense en la fórmula A como un conjunto)
A siempre es verdadera después de interpretar una x que aparece libremente en A como cada palabra individual en el dominio individual D
彐xA
Interpretar una x que aparece libremente en A siguiendo a una palabra individual en D hace que A sea verdadera
┓∧∨→←→Las condiciones de verdad son las mismas que la lógica proposicional
Fórmulas universalmente válidas (leyes de la lógica de predicados, también llamadas a menudo fórmulas verdaderas)
Pon un ejemplo y trata de explicar.
∀xF(x)→F(y)
F(y)→∃xF(x)
∀x(F(x)∨¬F(x))
¬∃x(F(x)∧¬F(x))
∀xFx↔¬∃x¬Fx
∃xFx↔¬∀¬Fx
∀x(Fx→Gx)→(∀xFx→∀xGx)
¿Por qué no puede ser ↔?
Si diez personas aprueban el examen, los invitaremos a todos a una comida (los requisitos son más estrictos). Si no puede decidir quién aprobó el examen, los invitaremos a una comida (los requisitos son más relajados).
En el último caso, la promesa del entrenador de invitar a cenar a las diez personas se cumplirá sólo después de que las diez personas hayan aprobado el examen. Siempre que uno de ellos falle, no es necesario que lo retires. Por supuesto, puedes retirarlo.
∀x（Fx∧Gx）↔（∀xFx∧∀xGx）
¿Por qué no puede ser ∨?
Si todas las personas son hombres y mujeres, no se puede inferir que todos sean hombres o que todas sean mujeres.
∃x（Fx∨Gx）↔（∃xFx∨∃xGx）
∧?
Alguien es niño y niña. Sucede que alguien es niño y alguien es niña. Pero algunas personas son hombres y otras son mujeres. No se puede inferir que algunas personas sean al mismo tiempo hombres y mujeres.
∃x∀yRxy→∀y∃xRxy
Problema de juicio de validez universal
La lógica de predicados es indecidible. No existe una forma universal de determinar todas las proposiciones y sólo puede determinarse localmente.
Debe investigarse uno por uno si determinados individuos cuyas causas se cuantifican tienen determinadas propiedades. Si el dominio individual es infinito, será difícil averiguarlo, a menos que se descubra que uno está equivocado. La cuantificación superpuesta será aún más problemática.
método de juicio local
diagrama de árbol
Las 9 reglas conectivas de la lógica proposicional siguen vigentes |La barra vertical indica que se obtienen nuevas ramas de todas las ramas de arriba
Primero use la regla conectiva, luego use la regla cuantificadora con requisito α y finalmente use la regla cuantificadora sin requisito α Si es necesario bifurcar α, primero se debe bifurcar.
Reglas de cuantificación extendidas (El propósito elimina el cuantificador)
∀ (No se puede marcar, no se pueden agotar los ejemplos, por lo que se puede usar repetidamente)
: ∀xAx : | A(x/t), si t es libre de sustituir a x (t no puede ser gobernado por ningún cuantificador, Si hay un cuantificador en A, entonces t no puede ser gobernado por A, Es decir, si hay un individuo gobernado y en A, entonces t no puede ser y)
Si ∀xAx es verdadero, entonces A es verdadero para cualquier individuo en el dominio individual En su dominio individual, parte de un grupo de individuos es verdadera, varios individuos son verdaderos y un individuo específico también es verdadero.
¬∀(se puede marcar, solo se puede usar una vez, Se pueden encontrar ejemplos en el dominio individual)
: ¬∀xHacha : | ¬A (x/α) si α es un término constante específico (aún no estoy seguro de cuál es) que no ha aparecido antes en esta rama (hay otras ramas disponibles) (para evitar que el mismo individuo se vea afectado por múltiples predicados)
Si ¬∀xAx es verdadero, entonces Ax no lo es para al menos algunos individuos en el dominio individual (SOP)
∃⁻ (se puede marcar... la lógica sólo puede garantizar un ejemplo)
: ∃xAx : | A(x/α) si α es una constante específica que no ha aparecido antes
¬∃(no se pueden agotar los ejemplos)
: ¬∃xHacha : | ¬A(x/t) si t sustituye x por libertad
Cuando el diagrama de árbol no está cerrado
Bucle de rama parcial sin contradicción (predicado unario)
Fórmula predeciblemente satisfactoria, es decir, la fórmula original no es una fórmula universalmente válida
No cíclico sino ramificado infinitamente (predicado de dos o más elementos) Las fórmulas originales que se pueden terminar son todas fórmulas válidas.
Es imposible juzgar si existe una contradicción o no, y es imposible terminar el diagrama de árbol, es decir, no se sabe si la fórmula original es válida o no.
Método de explicación (método modelo) con ejemplos.
Una explicación es una tarea.
σ: <<D,I>, ρ> Es decir, un modelo más asignaciones.
La prueba no es universalmente válida y requiere contraejemplos (antimodelos) Para demostrar que la fórmula se puede cumplir, solo necesitas dar un ejemplo.
Para demostrar que no es una expresión universalmente válida, pero que es satisfactoria, se requiere un contraejemplo y un ejemplo positivo.
Demostrar la validez universal requiere que todas las explicaciones lógicamente posibles sean verdaderas.
La prueba no es satisfactoria y requiere que todas las explicaciones lógicamente posibles sean falsas.
Sólo prueba por contradicción (dendrograma disponible)
Suponiendo que la fórmula original no es válida/satisfactoria, Hay un contraejemplo que invalida la fórmula original. De ello se deduce que no existe tal contraejemplo.
Presta atención a los puntos que debes dejar claro al explicar
Dominio individual D
El significado de los símbolos constantes y los símbolos predicados I.
Si se trata de la fórmula abierta, ¿qué variable libre asigna ρ en D?
Deducción natural de la lógica de predicados.
QᴺReglas de inferencia
es una expansión de Pᴺ
Pᴺ no puede manejar el cuantificador, así que use Qᴺ para eliminar el cuantificador, luego Pᴺ maneja los conectivos proposicionales y finalmente use Qᴺ para agregar el cuantificador de acuerdo con el aspecto deseado.
4 reglas cuantificadoras agregadas
∀⁻
∀xAx┣A（x/t）
Por ejemplo, ⱯxƎyRxy, t sustituido en x no puede ser y (la restricción t no está gobernada)
La situación cuando t no está restringido
t es la constante individual
A es la fórmula atómica (sin cuantificador)
A es una palabra de contenido, pero x no se rige por A
Una palabra de contenido, y x se rige por A
t debe ser una variable distinta de las variables individuales regidas por A De lo contrario, la sustitución de t por x en A no es libre (restringida)
∀
Ax┣∀xAx (x es cualquier variable libre)
Si no se puede garantizar que la variable libre x en la premisa sea arbitraria, Luego debe agregar una marca a x, lo que indica que la regla Ɐ no se puede usar
Cualquiera como Rxyz, puede ser Rxxx, siempre que x no esté marcada
¿Qué son las variables libres?
Palabras individuales inciertas en fórmulas sin restricciones de cuantificador
Como x en Rax x en divisas
Situaciones en las que es necesario marcar variables libres
Variables libres para una premisa determinada.
Se supone que las variables libres introducidas
Variables libres derivadas de premisas o supuestos
Hay variables libres que se refieren específicamente a términos constantes como subíndices.
Sin marcar
Variables libres obtenidas de Ɐ⁻
Ǝ⁻
ƎxAx┣A (x/α), α es un término constante especial que no ha aparecido antes Si hay una variable libre y distinta de x en A, marque y (igual que arriba)
Ǝ
A(x/t)┣ƎxAx, t no se puede restringir
Nota: Al igual que con el método del diagrama de árbol, los cuantificadores con requisitos α se deducen primero y los que no tienen requisitos α se deducen más tarde.
Principio de deducción
¿Qué fórmula desea obtener en cada paso del proceso de deducción y cómo obtiene la conclusión a partir de las premisas?
La regla del cuantificador solo se puede usar para la parte inicial y el alcance es la fórmula completa (esta regla solo se puede usar para el todo, al igual que la regla Pᴺ)
Como A→ⱯxⱯyⱯzB
Debe ser eliminado primero → Sólo cuando obtenga las piezas necesarias podráⱯ⁻ Y sólo puede eliminar la capa más externaⱯ
Si quieres obtener ⱯxⱯzB
Primero elimine → luego elimine Ɐx, luego elimine Ɐy y finalmente introduzca Ɐx
Sea confiable y completo
Todas las expresiones válidas ↔Todos los teoremas de Qᴺ
Es decir, las fórmulas derivadas de Qᴺ son generalmente válidas y pueden usarse como reglas derivadas.
Teoría de palabras equivalentes y análisis de descripción.
1. Teoría de palabras equivalentes
Razón para expandir L
"=" se usa comúnmente en matemáticas y lenguaje natural y es importante.
Propiedades características de palabras como
reflexividad
Ɐx（x=x）
simetría
ⱯxⱯy（x=y→y=x）
Transitividad
ⱯxⱯyⱯz（x=y∧y=z→x=z）
principio de indistinguibilidad
ⱯxⱯy（x=y→（Fx→Fy）)
Leibniz propuso
El principio de identidad de lo indistinguible.
ⱯxⱯy(（Fx↔Fy）→x=y)
Lo mismo que arriba
Usos de palabras como
Puede simbolizar algunos lenguajes naturales.
Al menos una x es F
ƎxFx
Al menos dos x son F
ƎxƎy（Fx∧Fy∧¬（x=y））
Hay dos individuos que son F y son diferentes.
Al menos tres x son F
ƎxƎyƎz(Fx∧Fy∧Fz∧¬(x=z)∧¬(x=z)∧¬(y=z))
Como mucho una x es F
ⱯxⱯy（Fx∧Fy→x＝y）
Si hay dos individuos, son el mismo individuo.
como mucho dos
ⱯxⱯyⱯz（Fx∧Fy∧Fz→（x＝y）∨（x＝z）∨（y=z））
Para cualquier z, x es igual a y o x es igual a y.
Si hay tres individuos, al menos dos de ellos son el mismo individuo.
a lo sumo sustantivo, masculino—
De la misma manera, si hay n 1 individuos, al menos dos de ellos son el mismo individuo
Exactamente una x es F
como máximo uno y al menos uno
ƎxFx∧ⱯxⱯy（Fx∧Fy→x=y）
Ǝx（Fx∧Ɐy（Fy→x＝y）) abreviatura
exactamente norte
como máximo n y al menos n
Li Qian tiene un par de hijos.
Li Qian: α Sxα: hijo de α Dyα: la hembra de α
ƎxƎy（Sxα∧Dyα∧Ɐz（Szα∨Dzα→（z＝x）∨（z＝y））)
Existe tal individuo x individuo y, x es hijo de α e y es hija de α, y para todo z, si z es hijo o hija de α, entonces z y x son el mismo individuo o z e y son el mismo individuo
Capítulo 5 Lógica Inductiva
definición
Un sistema de conocimiento con razonamiento inductivo y métodos inductivos como contenido básico.
Comparado
razonamiento deductivo
Razonamiento de fidelidad e inevitabilidad La conclusión no concluye más que las premisas.
Existen premisas que respaldan el razonamiento inductivo.
razonamiento inductivo
razonamiento probabilístico La conclusión afirma más que las premisas.
Clasificación
lógica inductiva tradicional
La experiencia individual se eleva al conocimiento general de la necesidad universal.
lógica inductiva moderna
credibilidad, estadísticas de probabilidad
significado
Inspirar a las personas a explorar con valentía desde lo conocido a lo desconocido. La creación, la invención, el descubrimiento, etc. son inseparables de la lógica inductiva.
método de razonamiento
método de enumeración simple
Definición: La parte de un objeto que se ha observado que tiene una determinada propiedad y no se han encontrado contraejemplos. Esto lleva a la conclusión de que todos los objetos de este tipo tienen este atributo.
Requisitos de confiabilidad
El número de objetos a inspeccionar debe ser suficiente.
lo suficientemente amplio
La brecha entre objetos es lo suficientemente grande.
El método de enumeración simple, muy poco confiable, se llama
Simplificación excesiva y generalización apresurada
En esencia, el razonamiento inductivo se basa en generalizaciones parciales.
inducción científica
La observación más la investigación científica es una deformación de la simple enumeración.
Existen diferencias individuales entre la investigación científica y la investigación científica.
Aunque suene feo, se puede dividir en grados, dependiendo de lo científico que sea.
fórmula de expresión
Todos los S observados hasta ahora son P, y la investigación científica muestra que existe una conexión inevitable entre S y P. Por lo tanto, todo S, observado o no, es P
induccion completa
Investigar al extremo la cantidad y distribución de métodos de enumeración simples.
Pequeña gama de aplicaciones pero lo suficientemente confiable
Observado todos los S Todo S es P sin contraejemplos Entonces todos los S son P
inducción excluyente
Formas de encontrar relaciones de causa y efecto (Diseñado en base a las características de la relación causal)
Buscar puntos en común
Algunos fenómenos aparecen unas veces y otras no. Por su universalidad, la causa y el efecto siempre los acompañan. Estos fenómenos ciertamente no son las causas de los fenómenos en estudio.
fórmula
La ocasión 1 tiene el fenómeno antecedente ABC y el fenómeno estudiado a La ocasión 2 tiene ABD, un 3 tiene ACE, un Entonces A (probablemente) es la causa de a
ventaja
Proporciona ideas para encontrar relaciones causales y tiene cierto grado de confiabilidad.
defecto
Tal vez confundieron la apariencia con la causa y no lograron descubrir la causa real detrás de esto.
Si es insomnio, busque la causa y los puntos en común Encontré a alguien que se duchaba todos los días pero las cosas eran diferentes cada día, pero ignoré la emoción que provocaban varias cosas.
Cómo evitar el insomnio evitar o detener la excitación
Encuentra un método diferente
Ocasión 1 Hay ABCD y un La ocasión 2 tiene BCD pero no Entonces A es la causa de a
Comúnmente utilizado en experimentos controlados.
Buscar puntos en común y buscar diferencias
Combinando las dos premisas anteriores, se combinan las dos premisas para llegar a una conclusión.
Situaciones de cabeza (por ejemplo, hay una A) Situaciones de cola (no hay una A)
Método de covariación (método de variable de control)
Si tanto A como un cambio en cierta medida siguen a uno de ellos, puede haber una relación causal.
método residual
Hay ABCDabcd Aa tiene una relación causal. Cama y desayuno cc Entonces Dd tiene una relación causal
Características de las relaciones causales.
universalidad
coexistencia
secuencia
La causa siempre es la primera, el efecto siempre es el último. Pero no es necesariamente la razón anterior, puede haber otras razones. fácil de confundir
Cómo evitar la confusión
"¿Es este realmente el caso? ¿Es posible? Eso es todo por el momento, pero es difícil decirlo en el futuro”.
diversidad compleja
Hay múltiples causas y un efecto, una causa y un efecto, una causa y muchos efectos, etc. También existen causas primarias y causas secundarias, causas distales y causas próximas (causas directas, causas fundamentales)
razonamiento por analogía
A tiene el atributo abcd babc Entonces B tiene d
Puede hacer que las personas saquen inferencias de un caso y obtengan inspiración o inspiración.
Como Luban inventó la sierra.
Se llama razonamiento analógico muy poco fiable.
analogía mecánica Analogía ridícula
Método de simulación
modelo, modelado
método de comparación
Compara las listas y encuentra similitudes y diferencias.
Errores comunes
comparación forzada, comparación engañosa Comparación falsa, ninguna comparación
deducción hipotética
paso
1. Punto de partida: problemas y dilemas
2. Formar una hipótesis: razonamiento abductivo
Fenómeno a explicar e si h, entonces e Así que h
mi Si h1 o h2 o...hn, entonces e no h2 No h3… entonces h1
3. Deducir observaciones a partir de hipótesis.
4. Prueba de hipótesis: confirmación y falsificación.
estándar de evaluación
conservatismo
universalidad
sencillez
rebatibilidad
Debe haber evidencia empírica y estar en línea con el mundo.
La metafísica no tiene evidencia empírica.
Modestia
Exactitud
Después de una confirmación o falsificación continua, descartar o modificar
La credibilidad es cada vez mayor
El problema de inducción de Hume.
¿Es correcto el razonamiento inductivo?