Sustitución de medio ancho

Significado geométrico

Representación equivalente

Sea {f}(x) diferenciable en el intervalo I

{f}' (x) \ge 0 ( \le 0)

Sea {f} (x) diferenciable en el intervalo \left ( a,b \right)

Para todo x \in \left ( a,b \right ) , existe {f}' (x) \ge 0 ( \le 0)

{f}'(x) e 0 en cualquier intervalo propio de \left ( a,b \right )

Este juicio también es válido si la función es unilateral y continua en el lado cerrado del intervalo.

\frac{0}{0} límite de tipo

\frac{a}{\infin} tipo límite infinitivo

Ley Ley de Lópida#Imitación

Definir derivada

{f} (x)= \sum_{i=0}^{n} \frac{{f}^{(i)}(0)}{n!} (x)^i

{T} (x) =\sum_{i=0}^{n} \frac{{f}^{(i)}(x_0)}{n!} (x-x_0)^i \frac{f^ {(n 1)}(\xi)}{(n 1)!} (x-x_0)^{n 1}

Sea {f} continua en el punto x_0 y diferenciable en una determinada vecindad U ^ {\circ} (x_0; \delta)

(i) Si {f} '(x) \le 0 cuando x \in \left ( x_0 - \xi ,x_0 \right ), {f cuando x \in \left( x_0 , x_0 \xi \right ) }' (x) \ge 0, entonces {f} obtiene el valor mínimo en x_0

(ii) Si cuando x \in \left ( x_0 - \xi ,x_0 \right ) {f} '(x) \ge 0, cuando x \in \left( x_0 , x_0 \xi \right ) {f }' (x) \le 0, entonces {f} obtiene el valor máximo en x_0

Supongamos que f es diferenciable de primer orden en una determinada vecindad U (x_0; \delta) de x_0, y diferenciable de segundo orden en x=x_0, y {f} '(x_0)= 0, {f} '' (x_0) e 0

Si {f}''(x_0) < 0, entonces {f} obtiene el valor máximo en x_0

Si {f}''(x_0) > 0, entonces {f} obtiene el valor mínimo en x_0

Supongamos que {f} existe en una determinada vecindad de x_0 con derivadas de hasta orden n-1, es derivable de orden n en x_0 y {f} ^ {(k)} (x_0) = 0 (k=1,2, \puntos,n-1), {f}^{(n)} e 0

Cuando n es un número par, {f} toma el valor extremo en x_0

Cuando n es un número impar, {f} no toma un valor extremo en x_0

Las tres condiciones suficientes no se aplican para determinar todos los puntos extremos (incluso si son diferenciables)

Es posible que el punto máximo no tenga una vecindad izquierda (derecha) que lo haga monótono.

El lema f es la condición necesaria y suficiente para la función convexa en I

Teorema Supongamos que f es una función diferenciable en el intervalo I, entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes entre sí

La condición necesaria y suficiente para el valor mínimo de una función convexa diferenciable es que la derivada sea cero

La función convexa en el intervalo abierto no toma el valor máximo

Fórmula de desigualdad de Jensen (Jensen)

Una función convexa en el intervalo abierto I tiene derivadas izquierda y derecha en cualquier punto de I

{f} es una función convexa en el intervalo abierto I, entonces {f} está acotada en cualquier subintervalo cerrado \left [ a, b \right ] de I

Convierte números racionales a infinitos decimales para comparar

tamaño

∞

-∞

El producto suma y diferencia de dos cantidades infinitesimales sigue siendo una cantidad infinitesimal

El producto de una cantidad infinitesimal y una cantidad acotada es una cantidad infinitesimal

Nivel alto/nivel bajo

Mismo nivel

equivalencia

Discontinuidades del primer tipo.

Discontinuidades tipo II

teorema de acotación

{f}'( x_{0} ) =\lim _ { x \to x _ { 0 } } \frac { f ( x ) - f ( x _ { 0 } ) } { x - x _ { 0 } } =\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0} \frac{f(x_{0} \Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}

La definición no es derivable

fórmula fórmula de incremento finito

El teorema es diferenciable\Flecha derecha continua (pero no al revés)

Condiciones para la existencia del teorema {f}'(x_0)

Definir punto estable

teorema de fermat

Corolario Si la función {f} es diferenciable en el intervalo I, y {f}' (x) = 0, x \in I, entonces {f} es una función constante en I

Corolario Si las funciones {f} y {g} son diferenciables en el intervalo I, y {f} ' (x) = {g} ' (x) , x \in I, entonces en el intervalo I, {f} ( x) ={g} (x) c (c es una constante)

Teorema del corolario Teorema del límite de la derivada

(u \pm v) '=u ' \pm v '

(uv) '=u 'vv'u

(\frac{u}{v}) '=\frac{u 'v-v 'u}{v^2}

f '(x_0)=\frac{1}{f^{-1}(y_0)}

\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} =\frac{1}{\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} }

({f}\circ {\varphi}) '(x_0)={f '}(u_0){\varphi} '(x_0)

\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} u}\cdot \frac{\mathrm{d} u}{ \mathrm{d}x}

(\sin x) '=\cos x

(\cos x) '=-\sin x

(\tan x) '=\sec^2 x

(\cot x)'=-\csc ^2 x

(\sec x) '=\sec x \tan x

(\csc x) '=-\csc x \cot x

(e^x) '=e^x

(\ln x) '=\frac{1}{x}

[{u} \pm {v} ]^{(n)}={u}^{(n)} \pm {v}^{(n)}

Fórmula fórmula de Leibniz

({u}{v})^{(n)}= \sum_{k=0}^{n} {C_{n}^{k} {u}^{(n-k)}{v}V^{ (k)}}

donde {u}^{(0)}={u},{v}^{(0)}={v}

Invariancia de formas diferenciales de primer orden.

para reemplazar la canción directamente

Límite de error del valor medido x_0\delta _x \ge |x-x_0|=|\Delta x|

|\Delta y| = |{f} (x) -{f} (x_0)| \aprox |{f} ' (x_0) \Delta x|

Límite de error relativo\frac{ \delta_y}{|y_0|}=|\frac{{f} '(x_0)}{{f}(x_0)}|