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análisis matemático
El principal contenido de investigación del análisis matemático son funciones, límites, cálculo, series, etc. Entre ellos, cálculo es el nombre colectivo de Cálculo Diferencial y Cálculo Integral. La base teórica del cálculo es la teoría de los límites y la base teórica de la teoría de los límites es la teoría de los números reales.
Edited at 2024-11-03 21:00:54
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análisis matemático
otro
Definir valores máximos/mínimos
Teorema del teorema del pellizco
Prueba del teorema fundamental de completitud de los números reales
teoría de números reales
integral anormal
Aplicaciones de integrales definidas
integral definida
Ocho integrales indefinidas
Concepto de integral indefinida y fórmula integral básica.
Definir la función original
Teorema: si la función es continua en el intervalo, entonces la función original existe en, es decir
Teorema Supongamos que {F}(x) es una función primitiva de {f}(x) en el intervalo I, entonces todas las funciones primitivas de F(x) en el intervalo I se pueden expresar como F(x) {\color{red } C ,C \en R}
Definir integral indefinida
Número de puntos
integrando
expresión integrando
cantidad
Tabla de puntos básicos
Integración por sustitución e integración por partes
Método de sustitución de teoremas
1
2
Integración por partes
Las funciones racionales se pueden reducir a integrales indefinidas de funciones racionales.
Integrales indefinidas de funciones racionales.
función racional
Definición de función racional
Definir fracción verdadera/fracción impropia
Definición expresión racional triangular
Sustitución de medio ancho
Integrales indefinidas de algunas expresiones irracionales simples.
6. Teorema del valor medio diferencial y sus aplicaciones
Teorema de Lagrange y monotonicidad de funciones.
Teorema de Rolle y teorema de Lagrange
Teorema Teorema de Rolle
Teorema Teorema del valor medio de Lagrange
Significado geométrico
Representación equivalente
{f} (b) -{f} (a) = {f} ' ( a \theta (b - a)) (b- a) , 0< \theta <1
{f} (a -h) -{f} (a) = {f} ' (a \theta h) h , 0< \theta <1
{f} (b) - {f} (a)= {f} ' ( \xi) (b - a) , a < \xi <b
función monótona
Juicio del teorema de la monotonicidad de funciones diferenciables.
Sea {f}(x) diferenciable en el intervalo I
{f}' (x) \ge 0 ( \le 0)
Juicio del teorema de monotonicidad estricta de funciones diferenciables
Sea {f} (x) diferenciable en el intervalo \left ( a,b \right)
Para todo x \in \left ( a,b \right ) , existe {f}' (x) \ge 0 ( \le 0)
{f}'(x) e 0 en cualquier intervalo propio de \left ( a,b \right )
Este juicio también es válido si la función es unilateral y continua en el lado cerrado del intervalo.
Corolario Supongamos que la función {f} es derivable en el intervalo I. Si {f}' (x) >0 ({f}' (x) < 0) , entonces {f} estrictamente aumenta (disminuye) en I
Teorema Teorema de Darboux (teorema del valor intermedio de funciones derivadas)
Corolario Supongamos que la función {f} (x) satisface {f}' (x) e 0 en el intervalo I, entonces {f} (x) es estrictamente monótona en el intervalo I
Teorema del valor medio de Cauchy y límites del infinitivo
Teorema del valor medio de Cauchy
Significado geométrico
\begin{vmatrix} {f} (a) & {f} (b) & {f} '( \xi) \\ {g} (a) & {g} (b) & {g} '( \xi ) \\ {h}(a) & {h} (b) & {h} '(\xi) \end{vmatrix} =0 si xxxx
límite infinitivo
definir infinitivo
Ley Ley de Lópida#Imitación
\frac{0}{0} límite de tipo
\frac{a}{\infin} tipo límite infinitivo
fórmula de taylor
Polinomio de Fórmula Taylor con resto de Peano
{T} (x) =\sum_{i=0}^{n} \frac{{f}^{(i)}(x_0)}{n!} (x-x_0)^i o (x^n)
probar
Ley Ley de Lópida#Imitación
Definir derivada
Fórmula Maclaurin Fórmula
{f} (x)= \sum_{i=0}^{n} \frac{{f}^{(i)}(0)}{n!} (x)^i
Fórmula de Taylor con resto tipo Lagrange
Teorema Teorema de Taylor
{T} (x) =\sum_{i=0}^{n} \frac{{f}^{(i)}(x_0)}{n!} (x-x_0)^i \frac{f^ {(n 1)}(\xi)}{(n 1)!} (x-x_0)^{n 1}
Aplicaciones en cálculos aproximados.
Extremos de funciones y valores máximos (pequeños)
Juicio de valor extremo
teorema de fermat
La primera condición suficiente para el valor extremo del teorema.
Sea {f} continua en el punto x_0 y diferenciable en una determinada vecindad U ^ {\circ} (x_0; \delta)
(i) Si {f} '(x) \le 0 cuando x \in \left ( x_0 - \xi ,x_0 \right ), {f cuando x \in \left( x_0 , x_0 \xi \right ) }' (x) \ge 0, entonces {f} obtiene el valor mínimo en x_0
(ii) Si cuando x \in \left ( x_0 - \xi ,x_0 \right ) {f} '(x) \ge 0, cuando x \in \left( x_0 , x_0 \xi \right ) {f }' (x) \le 0, entonces {f} obtiene el valor máximo en x_0
La segunda condición suficiente para el valor extremo del teorema.
Supongamos que f es diferenciable de primer orden en una determinada vecindad U (x_0; \delta) de x_0, y diferenciable de segundo orden en x=x_0, y {f} '(x_0)= 0, {f} '' (x_0) e 0
Si {f}''(x_0) < 0, entonces {f} obtiene el valor máximo en x_0
Si {f}''(x_0) > 0, entonces {f} obtiene el valor mínimo en x_0
La tercera condición suficiente para el valor extremo del teorema.
Supongamos que {f} existe en una determinada vecindad de x_0 con derivadas de hasta orden n-1, es derivable de orden n en x_0 y {f} ^ {(k)} (x_0) = 0 (k=1,2, \puntos,n-1), {f}^{(n)} e 0
Cuando n es un número par, {f} toma el valor extremo en x_0
Obtenga el valor máximo cuando {f}^{(n)}(x_0)<0
Obtener el valor mínimo cuando {f}^{(n)}(x_0)> 0
Cuando n es un número impar, {f} no toma un valor extremo en x_0
⚠️Atención
Las tres condiciones suficientes no se aplican para determinar todos los puntos extremos (incluso si son diferenciables)
{f}(x)= \begin{cases} e ^{- \frac{1}{x^2}}& \text{if} x e 0 \\ 0 & \text{if} x=0 \ fin {casos}
Es posible que el punto máximo no tenga una vecindad izquierda (derecha) que lo haga monótono.
{f}(x)=2-x^2(2 \sin \frac{1}{x})
Valores máximos y mínimos
teorema de acotación
punto estable
punto no derivable
Punto final del intervalo
El punto convexo y el punto de inflexión de la función.
función convexa
Definir función convexa
Definir funciones estrictamente convexas
El lema f es la condición necesaria y suficiente para la función convexa en I
Teorema Supongamos que f es una función diferenciable en el intervalo I, entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes entre sí
f es una función convexa en I
{f} 'es una función creciente en I
Teorema Supongamos que f es una función diferenciable de segundo orden en el intervalo I, entonces la condición necesaria y suficiente para que f sea una función convexa en I es {f} ''(x) \ge 0, x \in I
Para dos puntos cualesquiera x_1, x_2 en I, tenemos {f}(x_2) \ge {f}(x_1) {f} '(x_1) (x_2-x_1)
inferencia
La condición necesaria y suficiente para el valor mínimo de una función convexa diferenciable es que la derivada sea cero
Si la función {f} es un número convexo derivable definido en el intervalo abierto \left ( a, b \right )
{f} '(x_0)=0 \Leftrightarrow x_0 \in \left ( a,b \right ) es el punto mínimo de f
La función convexa en el intervalo abierto no toma el valor máximo
Fórmula de desigualdad de Jensen (Jensen)
Si {f} es una función convexa en \left [ a, b \right ]
\forall x_i \in \left [ a, b \right ], \lambda _i > 0 (i =1, 2, \dots ,n), \sum _{i=1}^{n} \lambda _i =1
Hay {f} (\sum_{i=1}^{n} \lambda _i x_i) \le \sum_{i=1}^{n} \lambda _i {f}(x_i)
Una función convexa en el intervalo abierto I tiene derivadas izquierda y derecha en cualquier punto de I
Si hay derivadas izquierda y derecha, es posible que no haya derivadas.
{f} es una función convexa en el intervalo abierto I, entonces {f} está acotada en cualquier subintervalo cerrado \left [ a, b \right ] de I
función cóncava
Definir función cóncava
Definir una función estrictamente cóncava
Propiedades similares a las funciones convexas.
punto de inflexión #inacabado
Definir punto de inflexión
teorema
teorema
Discusión de gráficos de funciones.
Procedimiento general para construir gráficas de funciones.
1. Encuentra el dominio de la función;
2. Examinar la paridad y periodicidad de la función;
3. Encuentre algunos puntos especiales de la función, como puntos de intersección con dos ejes de coordenadas, puntos discontinuos, puntos no diferenciables, etc .;
4. Determinar el intervalo monótono, el punto extremo, el intervalo de convexidad y el punto de inflexión de la función;
5. Examinar asíntotas;
6. Con base en los resultados de la discusión anterior, dibuje la gráfica de la función.
Solución aproximada a la ecuación.
1. Conjuntos de números reales y funciones.
números reales
naturaleza
Sobre el cierre de cuatro operaciones aritméticas.
Orden
Convierte números racionales a infinitos decimales para comparar
Decimal finito expresado como decimal infinito
tamaño
x=y
x>y
x<y
Especifica que cualquier número real no negativo es mayor que un número real negativo
Significado geométrico
el tamaño es transitivo
satisfacer la propiedad de Arquímedes
densidad
continuidad
Conjunto de números*principio de límite definido
Intervalos y barrios
intervalo
intervalo finito
intervalo infinito
∞
-∞
Definir límite superior/siguiente límite
Definir límite supremo/infinito
lejos
7. Completitud de los números reales
Teorema fundamental sobre el teorema de completitud de los números reales
principio de certeza
intervalo finito
intervalo infinito
teorema acotado monótono
Teorema del intervalo cerrado
teorema de cobertura finita
Teorema del punto de reunión\Teorema de la compacidad
Criterio de convergencia de Cauchy
Los teoremas de completitud de los números reales son equivalentes entre sí.
límite superior y límite inferior
Definir el punto de reunión de una secuencia.
Teorema La secuencia de puntos acotada (secuencia)\left \{ x_n \right \} tiene al menos un punto de reunión, y hay un punto de reunión máximo y un punto de reunión mínimo
Definir límites superior e inferior
El teorema\forall \left \{ x_n \right \} está acotado, hay \underline{\lim} _{x \to \infty} x_n \le \overline{\lim} _{x \to \infty} x_n
Teorema\lim _{x \to \infty} x_n =A \Longleftrightarrow \overline{\lim} _{x \to \infty} x_n = \underline{\lim} _{x \to \infty} x_n= A
Teorema Si \{x_n\} es una secuencia acotada
Preservación de la desigualdad en los límites superior e inferior del teorema.
Teorema Si \{x_n\} es una secuencia acotada
Concepto de función
definición
notación
Cuatro operaciones aritméticas
complejo
función inversa
funciones elementales
funciones con ciertas propiedades
Limitación
monotonicidad
paridad
cíclico
2 límites de secuencia
El concepto de límites de secuencia.
Definición 1
Definición 1’
secuencia infinitesimal
secuencia infinita
naturaleza
unicidad
Limitación
Retención de números
Preservar la desigualdad
compulsión
cuatro reglas aritméticas
subcolumna
definición
Condiciones necesarias y suficientes para la convergencia de secuencias.
Condiciones para la existencia del límite de una secuencia.
Principio Principio monótono acotado
principio de reducción
Teorema del teorema de la compacidad
Teorema Criterio de convergencia de Cauchy
Tres límites de función
Definir límites de función
naturaleza
unicidad
limitación local
Retención de números
desigualdad garantizada
compulsión
cuatro reglas aritméticas
Condiciones para la existencia de límites de función.
principio de reducción
3.9
monótono acotado
criterio de cauchy
Cantidades infinitamente grandes e infinitamente pequeñas
cantidad infinitesimal
naturaleza
El producto suma y diferencia de dos cantidades infinitesimales sigue siendo una cantidad infinitesimal
El producto de una cantidad infinitesimal y una cantidad acotada es una cantidad infinitesimal
Comparar
Nivel alto/nivel bajo
Mismo nivel
equivalencia
reemplazar
cantidad infinita
definición
Comparar
relación
asíntota de curva
definición
Método de determinación
4. Continuidad de la función
concepto de continuidad
Continuidad de una función en un punto.
Definir la función para que sea continua en un punto
Izquierda (derecha) continua
condiciones necesarias y suficientes
discontinuidad
Definir puntos de ruptura
Clasificación
Discontinuidades del primer tipo.
Puede eliminar discontinuidades
punto de salto
Discontinuidades tipo II
Funciones continuas en intervalos.
Definir funciones continuas en intervalos.
continuo por partes
Propiedades de funciones continuas
Propiedades locales de funciones continuas.
limitación local
Preservación del número local
Cuatro operaciones aritméticas
complejo
Propiedades básicas de funciones continuas en intervalos cerrados.
Teoremas de valor máximo y mínimo
teorema de acotación
Teorema Teorema de la intermediación
Teorema de existencia de raíces de teoremas
Continuidad de funciones inversas.
continuidad consistente
Definir continuidad consistente
El principio se reduce al principio
teorema de continuidad consistente
Continuidad de funciones elementales.
Continuidad de funciones exponenciales.
Continuidad de funciones elementales.
Teorema: Todas las funciones elementales básicas son funciones continuas en su dominio.
Teorema: Cualquier función elemental es una función continua en su intervalo definido.
5 derivados y diferenciales
El concepto de derivada.
Definición de derivada
Definir derivada
{f}'( x_{0} ) =\lim _ { x \to x _ { 0 } } \frac { f ( x ) - f ( x _ { 0 } ) } { x - x _ { 0 } } =\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0} \frac{f(x_{0} \Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}
La definición no es derivable
fórmula fórmula de incremento finito
El teorema es diferenciable\Flecha derecha continua (pero no al revés)
Definir derivada unilateral
Condiciones para la existencia del teorema {f}'(x_0)
función derivada
Definir funciones derivadas/derivadas
El significado geométrico de las derivadas.
Ecuación tangente y-y_0= {f}'(x_{0})(x-x_0)
Definir valores extremos
Definir punto estable
teorema de fermat
Corolario Si la función {f} es diferenciable en el intervalo I, y {f}' (x) = 0, x \in I, entonces {f} es una función constante en I
Corolario Si las funciones {f} y {g} son diferenciables en el intervalo I, y {f} ' (x) = {g} ' (x) , x \in I, entonces en el intervalo I, {f} ( x) ={g} (x) c (c es una constante)
Teorema del corolario Teorema del límite de la derivada
Regla de derivación de fórmulas
Reglas básicas de derivación
Cuatro operaciones aritméticas
(u \pm v) '=u ' \pm v '
(uv) '=u 'vv'u
(\frac{u}{v}) '=\frac{u 'v-v 'u}{v^2}
( \frac{1}{v}) '=- \frac{v '}{v^2}
derivada de la función inversa
f '(x_0)=\frac{1}{f^{-1}(y_0)}
\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} =\frac{1}{\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} }
Derivadas de funciones compuestas
({f}\circ {\varphi}) '(x_0)={f '}(u_0){\varphi} '(x_0)
\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} u}\cdot \frac{\mathrm{d} u}{ \mathrm{d}x}
Fórmulas derivadas de funciones elementales básicas.
(c)' =0
(x^a) '=ax^{a-1}
\Delta
(\sin x) '=\cos x
(\cos x) '=-\sin x
(\tan x) '=\sec^2 x
(\cot x)'=-\csc ^2 x
(\sec x) '=\sec x \tan x
(\csc x) '=-\csc x \cot x
(a^x) '=a^x\ln a
(e^x) '=e^x
(\log_{a}{x}) '=\frac{1}{x\ln a}
(\ln x) '=\frac{1}{x}
Habilidad
Derivación logarítmica
Derivadas de funciones paramétricas
Ecuación paramétrica de la curva plana C.
curva suave
\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y} =\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} \cdot \frac{\mathrm{d}t}{ \mathrm{d}x}
derivados de orden superior
Defina la segunda derivada {f}''
Definir la diferenciabilidad de segundo orden
Definir derivadas de orden superior
{f}^{(n)}(x_0) {f}^{(n)}
{y}^{(n)}|_{x=x_0} {y}^{(n)}
\frac{\mathrm{d}^{n}y}{\mathrm{d}x^n}|_{x=x_0} \frac{\mathrm{d} ^n y}{\mathrm{d}x^ norte}
Derivados de orden superior después de la operación
Suma y resta
[{u} \pm {v} ]^{(n)}={u}^{(n)} \pm {v}^{(n)}
multiplicación
Fórmula fórmula de Leibniz
({u}{v})^{(n)}= \sum_{k=0}^{n} {C_{n}^{k} {u}^{(n-k)}{v}V^{ (k)}}
donde {u}^{(0)}={u},{v}^{(0)}={v}
diferencial
Concepto diferencial
Definir diferencial \mathrm{d}y|_{x=x_0}=A\Delta x o \mathrm{d}{f}(x)|_{x=x_0}=A \Delta x
Interpretación geométrica de diferenciales.
Definir funciones diferenciables
naturaleza
Invariancia de formas diferenciales de primer orden.
Reglas aritméticas de diferenciación de fórmulas.
\mathrm{d}[{u}(x) \pm {v}(x)] = \mathrm{d} {u}(x) \pm \mathrm{d} {v}(x)
\mathrm{d}[{u}(x) {v}(x)] ={v}(x) \mathrm{d}{u}(x) {u}(x) \mathrm{d} {v }(incógnita)
\mathrm{d} \frac{{u}(x)}{{v}(x)}= \frac{{v}(x) \mathrm{d} {u}(x) - {u} (x ) \mathrm{d} {v} (x)}{{v} ^2 (x)}
\mathrm{d} ({f }\circ {g} (x))= {f} '(u) g '(x) \mathrm{d} x ={f} ' ({u}) \mathrm{ d}{u}
Diferenciales de orden superior
Defina el diferencial de segundo orden \mathrm{d} ^2 y ={f} ''(x) \mathrm{d} {x^2}
Definir diferencial de orden superior \mathrm{d}^n y = {f} ^{(n)} (x) \mathrm{d} x^n
ya no tiene invariancia formal
Aplicación del cálculo diferencial en cálculos aproximados
Cálculo aproximado de funciones.
para reemplazar la canción directamente
{f} (x_0 \Delta x) \approx {f} (x_0) {f} ' (x_0) \Delta x , \Delta x es muy pequeño
{f} (x) ={f} (x_0) {f} '(x_0) (x-x_0) ,x \aprox x_0
estimación de error
Límite de error del valor medido x_0\delta _x \ge |x-x_0|=|\Delta x|
|\Delta y| = |{f} (x) -{f} (x_0)| \aprox |{f} ' (x_0) \Delta x|
Límite de error relativo\frac{ \delta_y}{|y_0|}=|\frac{{f} '(x_0)}{{f}(x_0)}|
Notación de símbolos
\mathrm{d} ^2 x= \mathrm{d} (\mathrm{d} x)
\mathrm{d} x^2= (\mathrm{d} x)^2