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Infinitesimalrechnung
Mindmap über Infinitesimalrechnung in der fortgeschrittenen Mathematik, einschließlich Funktionen und Grenzwerte, Ableitungen und Differentiale, Differentialmittelwertsatz und Anwendungen von Ableitungen, unbestimmte Integrale usw.
Edited at 2023-12-14 23:19:54
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Infinitesimalrechnung
Kapitel 1 Funktionen und Grenzen
1. Zuordnung und Funktionen
Funktionsdefinition
Funktionstyp
grundlegende Elementarfunktionen
Umkehrfunktion
Was sind die Bedingungen für die Existenz einer Umkehrfunktion?
inverse trigonometrische Funktion
Domain
Die Bedeutung unabhängiger und abhängiger Variablen
Bild
Suchen Sie nach Orientierung?
Bezieht sich auf das Machtdreieck...
explizite Funktion
Implizite Funktion
parametrische Gleichungen
Polargleichung
Rundungsfunktion
Max-Min-Funktion
symbolische Funktion
Zusammengesetzte Funktion
stückweise Funktion
Eigenschaften von Funktionen
Monotonie
Parität
Begrenztheit
Hat eine Definition notwendigerweise eine Grenze?
Definition 1
Definition 2
Wie lässt sich eine gegenseitige Äquivalenz ableiten?
2 Der Grenzwert der Sequenz
Definition des Grenzwertes einer Folge (Konvergenz)
Konvergenzkriterien für monoton beschränkte Folgen Monoton beschränkte Folgen müssen Grenzen haben
Zunahme
reduzieren
eine wichtige Grenze
Förderung
Es handelt sich um ein Modell, das häufig bei der Suche nach Grenzen konstruiert wird.
Einige Eigenschaften konvergenter Folgen
Prinzip des Kneifens
Eine gute Möglichkeit, Grenzen zu finden, die ich oft übersehe!
Begrenzte Größen multipliziert mit Infinitesimalen?
Konvergenz von Folgen und Konvergenz ungerader und gerader Teilfolgen
ultimative Einzigartigkeit
Begrenztheit konvergenter Folgen
Vier extreme Rechenoperationen
Nutzungsbedingungen!
Drei Funktionsgrenzen
Definition (ähnlich wie Sequenzlimit)
Notwendige und ausreichende Bedingungen für das Bestehen von Grenzwerten
Was hat die Existenz des Grenzwerts bei X0 zu tun?
So finden Sie das Limit
Methode zum Aufteilen von Elementen
rationalisieren
Nutzen Sie wichtige extreme Strukturen
Bruchexponentielle Potenzform: Erfassen Sie die Masse der Terme höherer Ordnung
Lópidas Gesetz
Taylor-Formel
Prinzip des Kneifens
Produkt aus Summe und Differenz. Produkt aus Summe und Differenz
Äquivalent zu Infinitesimal
Sequenzlimit
Gedanke: Verwandle das Unendliche in das Endliche
Zoomen
Stolz-Theorem
Eine wichtige Formel in bestimmten Integralen
Andere Transformationstechniken
Die Beziehung zwischen Funktionsgrenzen und Sequenzgrenzen
Inklusionsbeziehung
4. Vergleich zwischen Infinitesimal, Infinitesimal und Infinitesimal
Infinitesimaldefinition
Eigenschaften von Infinitesimalen
Das Summen-Differenz-Produkt von infinitesimalen Termen ist immer noch infinitesimal
Begrenzte Größen multipliziert mit Infinitesimalen?
Infinitesimalvergleich
Fortschrittlich
niedriges Niveau
Das selbe Level
Gleichwertigkeit
Finden Sie den Grenzwert des äquivalenten Infinitesimalwerts
wichtige Formel
Nutzungsbedingungen
Manchmal müssen wir den Unterschied zwischen dem Gehen nach rechts und dem Gehen nach 0 berücksichtigen!
Der ersetzte Teil ist der Faktor des gesamten Bruchs
Verwandter Satz
Hohes Niveau Niedriges Niveau ~ Niedriges Niveau
Satz der gleichen Ordnung
Der Koeffizient darf nach Additions- und Subtraktionsoperationen nicht Null sein
Das Konzept des Hauptteils
5. Kontinuität der Funktionen
Grundwissen
Definition: Der Grenzwert der Funktion bei x0 ist gleich dem Funktionswert bei x0
Durchgehend nach links und rechts
Was sind die notwendigen und hinreichenden Bedingungen für die Kontinuität an einem bestimmten Punkt?
Geometrische Bedeutung
Grundlegende Elementarfunktionen sind innerhalb ihres Definitionsbereichs stetig
Die Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division und Verbindung stetiger Funktionen ist immer noch stetig.
Funktionsunterbrechungspunkt
Der erste Typ von Diskontinuitätspunkten existiert sowohl an der linken als auch an der rechten Grenze.
Kann gehen
springen
Der zweite Typ von Diskontinuitätspunkten bedeutet, dass mindestens eine der linken und rechten Grenzen nicht existiert.
Besonderheit: Unendliche Diskontinuitäten zweiter Art
Eigenschaften stetiger Funktionen auf geschlossenen Intervallen
Kontinuierlich in einem offenen Intervall? Kontinuierlich in einem geschlossenen Intervall?
Maximalwertsatz
Nullpunktsatz
Zwischenwertsatz für stetige Funktionen
Kapitel 2 Ableitungen und Differentiale
1. Das Konzept der Derivate
Definition
Finden Sie Derivate mithilfe von Derivatdefinitionen
Linke und rechte Ableitungen
Einstufungsdiskussion!
Was sind die notwendigen und hinreichenden Voraussetzungen für die Existenz von Derivaten?
Geometrische Bedeutung
Tangente
Normal
Differenzierbar auf offenen Intervallen und differenzierbar auf geschlossenen Intervallen
Differenzierbare und kontinuierliche Beziehungen
symbolische Darstellung
2. Vier arithmetische Ableitungsregeln für Funktionen
3. Ableitungsregeln für zusammengesetzte Funktionen
Gewöhnliche zusammengesetzte Funktionen
exponentiell
Logarithmische Ableitungsmethode: Nehmen Sie gleichzeitig den Logarithmus von links und rechts und wandeln Sie die Exponentialform in eine Produktform um
Beachten Sie, dass die unabhängige Variable bei der Ableitung von y x ist!
Mithilfe der logarithmischen Ableitungsmethode für Multiplikations- und Divisionsformen können Sie Multiplikation und Division in Addition und Subtraktion umwandeln.
4. Ableitung impliziter Funktionen
Nehmen Sie gleichzeitig die Ableitung von x auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens und verschieben Sie dann y' auf eine Seite des Gleichheitszeichens
5. Ableitung von Umkehrfunktionen
Ableitung erster Ordnung
Ableitung zweiter Ordnung
Sechs Ableitungen parametrischer Gleichungen
Ändern Sie das Ableitungsobjekt
Ableitungen von Polarkoordinatengleichungen
Äquivalent zu den Parametern in der parametrischen Gleichung sind
Sieben Differentiale
Definition von Differential
Differenzierbarkeit und Ableitbarkeit sind für beide Seiten hinreichende und notwendige Bedingungen
Berechnung von Differentialen
So finden Sie das Differential
Verwenden von Differentialen zum Finden von Näherungen
8. Derivate höherer Ordnung
mehrere Formeln
Kapitel 3 Differentialmittelwertsatz und Anwendung von Ableitungen
1 Differentialmittelwertsatz
Fermats Lemma: Die Ableitung eines stetig differenzierbaren Punktes ist Null.
Satz von Rolle:
Mittelwertsatz von Lagrange:
Cauchys Mittelwertsatz:
Inferenz:
2. Lópidas Gesetz
Nutzungsbedingungen
Es gibt Zähler- und Nennergrenzen
Das Ablösefeld kann geführt werden
eine wichtige Grenze
3. Monotonie
Vier Extremwerte
Die Position des Extrempunkts
Ableitbare Extrempunkte (stationäre Punkte)
nicht ableitbarer Punkt
So ermitteln Sie Extrempunkte
erste hinreichende Bedingung
Monotonie im linken und rechten Bereich
zweite hinreichende Bedingung
Positive und negative zweite Ableitung
Beachten Sie die Situation, in der die zweite Ableitung 0 ist! Allein diskutieren
So ermitteln Sie den besten Wertpunkt
Berücksichtigen Sie Extrempunkte und Endpunkte
5 Taylor-Formel
Entwicklung einiger gängiger Ableitungen bei x=0
Auf der Suche nach dem Limit? Bestimmen Sie, auf welche Zahl erweitert werden soll
6. Konkav-Konvexität der Funktion
Die geometrische Bedeutung von Konkavität und Konvexität
Beurteilung von Konkavität und Konvexität
Wendepunkt der Funktion
Die Definition des Wendepunkts: (Xo,f(Xo))
Kontinuierlich bei Xo
Die Konkavität und Konvexität des linken und rechten Bereichs sind entgegengesetzt
Die Art des Wendepunkts
Wenn die zweite Ableitung am Wendepunkt existiert, ist die zweite Ableitung 0
Die zweite Ableitung existiert möglicherweise nicht
7. Finden Sie die Asymptote
vertikale Asymptote
Xo ist der Funktionsdiskontinuitätspunkt
horizontale Asymptote
schräge Asymptote
Kapitel 4 Unbestimmte Integrale
ein Konzept
Das Finden unbestimmter Integrale und die Ableitung sind reziproke Prozesse
Alle Grundfunktionen von f(x)
C repräsentiert eine beliebige Konstante
2. Berechnung unbestimmter Integrale
24 häufig verwendete Punktetabellen
Methode zur Aufschlüsselung (Zerlegung).
Trigonometrische Funktionen
Die erste Art der Substitutionsmethode (Differenzierungsmethode)
Wenn die Nenner eine ähnliche Form haben, können sie entsprechend verformt und angepasst werden.
Die zweite Art der Substitutionsmethode (zwei Substitutionen)
Integration in Teilstücken
3. Unbestimmte Integrale rationaler Funktionen
Wandeln Sie einen unechten Bruch in einen echten Bruch um, indem Sie Terme teilen oder mit dem Rest dividieren
Der Eigenbruch wird weiter in Begriffe unterteilt:
Kapitel 5 Bestimmte Integrale
Die Definition eines bestimmten Integrals
Ableitung: extremes Denken
Eine wichtige Formel zur Grenzfindung
Hinweis: Drei Schritte zur Verwendung
Die geometrische Bedeutung bestimmter Integrale
Bereich geometrischer Figuren
Achten Sie auf das Positive und Negative!
2. Eigenschaften bestimmter Integrale
Linear
Additivität
Umkehrung
Das bestimmte Integral hat nichts mit der Integralvariablen zu tun
ungleiche Beziehung
Beide Seiten des Ungleichheitszeichens können gleichzeitig bestimmte Integrale sein
Hinweis: Beide Seiten des Gleichheitszeichens können auf unbestimmte Zeit gleichzeitig integriert werden, beide Seiten des Ungleichheitszeichens können jedoch nicht auf unbestimmte Zeit gleichzeitig integriert werden.
Die Beziehung zwischen unbestimmten Integralen und den Maximal- und Minimalwerten im Intervall
Integraler Mittelwertsatz
3 Newton-Leibniz-Formel
Variables Grenzintegral
variable Obergrenze
variable Untergrenze
Der Satz von Leibniz
Newton-Leibniz-Formel
4. Berechnung bestimmter Integrale
Gang und gäbe sein
Finden Sie zuerst das unbestimmte Integral und führen Sie dann die Subtraktionsoperation durch
Definitive Integralsubstitutionsmethode
Symmetrische Intervallfunktion
zyklisch
Methode der partiellen Integration für bestimmte Integrale
Eine bestimmte Integralformel in Bezug auf Sinus und Cosinus